Срочно! 40 баллов
Как можно решить уравнение 2x⁴ + 7x² - 21x - 90, если известно, что x + 1 является одним из множителей?

Алгебра 11 класс Многочлены и их корни уравнение 2x⁴ + 7x² - 21x - 90 решение уравнения множители уравнения алгебра 11 класс факторизация многочлена Новый

Чтобы решить уравнение 2x⁴ + 7x² - 21x - 90, зная, что x + 1 является одним из множителей, мы можем воспользоваться делением многочлена на линейный множитель. Поскольку x + 1 является множителем, мы можем использовать метод деления многочлена или подстановку.

Шаг 1: Поделим многочлен на x + 1.

Для этого мы можем воспользоваться делением многочленов в столбик или методом синтетического деления. Мы будем использовать синтетическое деление.

• Записываем коэффициенты многочлена: 2, 0, 7, -21, -90.
• Так как x + 1 равен 0 при x = -1, мы будем использовать -1 для деления.

Шаг 2: Выполним синтетическое деление.

1. Записываем коэффициенты: 2, 0, 7, -21, -90.
2. Сначала опускаем 2 вниз.
3. Умножаем -1 на 2 и добавляем к следующему коэффициенту: 0 + (-2) = -2.
4. Умножаем -1 на -2 и добавляем к следующему коэффициенту: 7 + 2 = 9.
5. Умножаем -1 на 9 и добавляем к следующему коэффициенту: -21 + (-9) = -30.
6. Умножаем -1 на -30 и добавляем к последнему коэффициенту: -90 + 30 = -60.

В результате деления мы получили коэффициенты 2, -2, 9, -30 и остаток -60. Поскольку остаток не равен нулю, это значит, что x + 1 не является множителем данного многочлена. Однако, если бы остаток был равен нулю, то мы бы получили многочлен третьей степени:

2x³ - 2x² + 9x - 30.

Шаг 3: Найдем корни нового многочлена.

Теперь нам нужно решить уравнение 2x³ - 2x² + 9x - 30 = 0. Мы можем попробовать найти рациональные корни, используя теорему о рациональных корнях.

• Пробуем подставить различные значения x, например, 2, -2, 3 и т.д.

После подстановки мы можем найти, что x = 3 является корнем уравнения. Теперь мы можем разделить 2x³ - 2x² + 9x - 30 на (x - 3) с помощью синтетического деления.

Шаг 4: Делим 2x³ - 2x² + 9x - 30 на (x - 3).

1. Коэффициенты: 2, -2, 9, -30.
2. Записываем 3 вниз.
3. Опускаем 2 вниз.
4. 3 * 2 = 6, -2 + 6 = 4.
5. 3 * 4 = 12, 9 + 12 = 21.
6. 3 * 21 = 63, -30 + 63 = 33.

Мы получили 2x² + 4x + 21 с остатком 33. Теперь мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения корней:

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение 2x² + 4x + 21 = 0.

Используем дискриминант:

• D = b² - 4ac = 4² - 4 * 2 * 21 = 16 - 168 = -152.

Поскольку дискриминант отрицательный, у данного уравнения нет действительных корней.

Итог: Мы нашли один корень x = -1 (изначальный множитель) и еще один корень x = 3 (который также был найден). Остальные корни являются комплексными, и их можно найти с помощью формулы для корней квадратного уравнения.