СРОЧНО!

Докажите, что существует бесконечно много простых чисел, которые можно выразить в виде 4n + 3.

Также, докажите, что существует бесконечно много простых чисел, которые можно выразить в виде 6n + 5.

Помогите, пожалуйста, даю 25 баллов!

Алгебра 11 класс Теория чисел алгебра 11 класс простые числа доказательство простых чисел 4n + 3 6n + 5 бесконечно много простых чисел математические доказательства свойства чисел алгебраические выражения теория чисел Новый

Докажем, что существует бесконечно много простых чисел вида 4n + 3.

Рассмотрим простые числа. Мы знаем, что простые числа - это числа, которые делятся только на 1 и на само себя. Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее.

Теперь давайте посмотрим на числа вида 4n + 3. Это означает, что мы берем любое целое число n и умножаем его на 4, а затем добавляем 3. Например:

• Если n = 0, то 4 * 0 + 3 = 3 (простое число).
• Если n = 1, то 4 * 1 + 3 = 7 (простое число).
• Если n = 2, то 4 * 2 + 3 = 11 (простое число).
• Если n = 3, то 4 * 3 + 3 = 15 (не простое, но это не важно для доказательства).
• Если n = 4, то 4 * 4 + 3 = 19 (простое число).

Таким образом, мы можем видеть, что при различных значениях n мы можем получать простые числа. Но чтобы доказать, что таких чисел бесконечно много, мы можем использовать метод доказательства от противного.

Предположим, что существует конечное количество простых чисел вида 4n + 3. Обозначим их как p1, p2, ..., pk. Теперь рассмотрим число, равное 4(p1 * p2 * ... * pk) + 3. Это число не делится ни на одно из p1, p2, ..., pk, так как при делении на любое из этих простых чисел остаток будет 3. Таким образом, это число либо простое, либо делится на простое число, которое не входит в наш список, и это новое простое число также будет вида 4n + 3. Это противоречит нашему предположению о конечности простых чисел данного вида.

Теперь докажем, что существует бесконечно много простых чисел вида 6n + 5.

Аналогично, рассмотрим числа вида 6n + 5. Это значит, что мы берем любое целое число n, умножаем его на 6 и добавляем 5. Например:

• Если n = 0, то 6 * 0 + 5 = 5 (простое число).
• Если n = 1, то 6 * 1 + 5 = 11 (простое число).
• Если n = 2, то 6 * 2 + 5 = 17 (простое число).
• Если n = 3, то 6 * 3 + 5 = 23 (простое число).

Чтобы доказать, что простых чисел вида 6n + 5 также бесконечно много, воспользуемся тем же методом доказательства от противного. Предположим, что конечное число простых чисел вида 6n + 5 обозначим как q1, q2, ..., qk. Теперь рассмотрим число, равное 6(q1 * q2 * ... * qk) + 5. Это число не делится ни на одно из q1, q2, ..., qk, так как при делении на любое из этих простых чисел остаток будет 5. Следовательно, это число либо простое, либо делится на простое число, которое не входит в наш список, и это новое простое число также будет вида 6n + 5. Это также противоречит нашему предположению о конечности простых чисел данного вида.

Таким образом, мы доказали, что существует бесконечно много простых чисел, которые можно выразить в виде 4n + 3 и 6n + 5.