СРОЧНО

Как упростить выражение: cos3a + sina * sin2a?

Как решить неравенство: 4^x - 2^x < 12?

Алгебра 11 класс Тригонометрические преобразования и неравенства Упрощение выражения алгебра 11 класс cos3a sina sin2a решение неравенства 4^x - 2^x < 12 методы решения неравенств Новый

Давайте разберем оба задания по порядку.

1. Упрощение выражения: cos3a + sin(a) * sin(2a

Для начала, вспомним некоторые тригонометрические формулы. Мы можем использовать формулу для sin(2a) и формулу для cos(3a).

• Формула для sin(2a) равна 2 * sin(a) * cos(a).
• Формула для cos(3a) может быть записана как cos(3a) = 4cos^3(a) - 3cos(a).

Теперь подставим sin(2a) в исходное выражение:

1. cos(3a) + sin(a) * sin(2a) = cos(3a) + sin(a) * (2 * sin(a) * cos(a))
2. Это можно упростить до: cos(3a) + 2 * sin^2(a) * cos(a).

Теперь подставим значение для cos(3a):

1. cos(3a) + 2 * sin^2(a) * cos(a) = (4cos^3(a) - 3cos(a)) + 2 * sin^2(a) * cos(a)
2. Объединим подобные слагаемые: 4cos^3(a) - 3cos(a) + 2sin^2(a)cos(a).

Теперь мы можем заметить, что sin^2(a) = 1 - cos^2(a), и подставить это значение, если необходимо, но в общем случае выражение уже достаточно упрощено.

2. Решение неравенства: 4^x - 2^x < 12

Для решения этого неравенства сначала упростим его. Мы можем выразить 4^x через 2^x:

• 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2.

Таким образом, мы можем переписать неравенство:

1. (2^x)^2 - 2^x < 12.

Теперь обозначим 2^x как y. Тогда неравенство принимает вид:

1. y^2 - y - 12 < 0.

Теперь решим квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения y^2 - y - 12 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49.
• Корни уравнения: y1 = (1 + √49) / 2 = 5 и y2 = (1 - √49) / 2 = -4.

Теперь мы знаем, что неравенство y^2 - y - 12 < 0 выполняется между корнями:

• -4 < y < 5.

Так как y = 2^x, и 2^x всегда положительно, то мы можем записать:

• 0 < 2^x < 5.

Теперь найдем, при каких значениях x это выполняется:

• 2^x < 5.
• x < log2(5).

Таким образом, окончательное решение неравенства:

x < log2(5).

Это и есть ответ на оба задания. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!