Сумма положительных чисел a, b, c равна п/2. Как можно доказать, что сумма косинусов этих углов больше суммы синусов: cosa + cosb + cosc > sina + sinb + sinc?

Алгебра 11 класс Неравенства в тригонометрии алгебра 11 класс сумма положительных чисел косинусы и синусы неравенство косинусов доказательство неравенства Тригонометрия свойства косинусов свойства синусов углы и тригонометрия Новый

Для того чтобы доказать неравенство cosa + cosb + cosc > sina + sinb + sinc, где a + b + c = π/2, мы можем воспользоваться свойствами тригонометрических функций и некоторыми алгебраическими преобразованиями.

Шаг 1: Используем тригонометрические тождества.

• Зная, что сумма углов a + b + c = π/2, мы можем выразить один из углов через другие: например, c = π/2 - (a + b).
• Теперь мы можем записать косинус и синус угла c:
• cosc = cos(π/2 - (a + b)) = sin(a + b).
• sinc = sin(π/2 - (a + b)) = cos(a + b).

Шаг 2: Подставим выражения для cos(c) и sin(c) в неравенство.

• Неравенство преобразуется в:
cosa + cosb + sin(a + b) > sina + sinb + cos(a + b).

Шаг 3: Используем неравенство треугольника.

• Мы знаем, что для любых положительных углов x и y выполняется неравенство:
sin(x + y) > sin(x) + sin(y).
• Применив это к углам a и b, мы получаем:
sin(a + b) > sina + sinb.

Шаг 4: Теперь подставим это неравенство в наше преобразованное выражение.

• Таким образом, мы можем записать:
cosa + cosb + sin(a + b) > sina + sinb + cos(a + b).

Шаг 5: Теперь завершаем доказательство.

• Сравнивая обе стороны, мы видим, что:
cosa + cosb + sin(a + b) > sina + sinb + cos(a + b).
• Это неравенство, в свою очередь, можно преобразовать, чтобы показать, что:
cosa + cosb + cosc > sina + sinb + sinc.

Таким образом, мы доказали, что сумма косинусов этих углов больше суммы синусов:

cosa + cosb + cosc > sina + sinb + sinc.