Давайте последовательно решим поставленные задачи: найдем модуль вектора a, скалярное произведение векторов a и b, косинус угла между ними, проекцию вектора a на вектор b и направляющие косинусы вектора a.

Модуль вектора a = {1; -2; 2} можно найти по формуле:

|a| = √(x^2 + y^2 + z^2),

где x, y, z - компоненты вектора a.

• x = 1
• y = -2
• z = 2

Теперь подставим значения:

|a| = √(1^2 + (-2)^2 + 2^2) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.

Скалярное произведение векторов a и b можно найти по формуле:

a · b = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2,

где (x1, y1, z1) - компоненты вектора a, а (x2, y2, z2) - компоненты вектора b.

• Вектор b = {-4; 12; 3}
• x1 = 1, y1 = -2, z1 = 2
• x2 = -4, y2 = 12, z2 = 3

Теперь подставим значения:

a · b = 1 * (-4) + (-2) * 12 + 2 * 3 = -4 - 24 + 6 = -22.

Косинус угла между векторами a и b можно найти по формуле:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|),

где |b| - модуль вектора b.

Сначала найдем модуль вектора b:

• |b| = √((-4)^2 + 12^2 + 3^2) = √(16 + 144 + 9) = √169 = 13.

Теперь подставим значения в формулу:

cos(θ) = (-22) / (3 * 13) = -22 / 39.

Проекция вектора a на вектор b рассчитывается по формуле:

Pr_b a = (a · b) / |b|^2 * b.

Сначала найдем |b|^2:

|b|^2 = 13^2 = 169.

Теперь подставим значения:

Pr_b a = (-22) / 169 * b = (-22 / 169) * {-4; 12; 3} = {88/169; -264/169; -66/169}.

Направляющие косинусы вектора a можно найти по следующим формулам:

• cos(α) = x / |a|,
• cos(β) = y / |a|,
• cos(γ) = z / |a|.

Где x, y, z - компоненты вектора a. Подставим значения:

• cos(α) = 1 / 3,
• cos(β) = -2 / 3,
• cos(γ) = 2 / 3.

Таким образом, мы нашли все необходимые величины:

• Модуль вектора a: 3
• Скалярное произведение a и b: -22
• Косинус угла между a и b: -22/39
• Проекция вектора a на вектор b: {88/169; -264/169; -66/169}
• Направляющие косинусы вектора a: {1/3; -2/3; 2/3}