2025-02-02 17:52:54
В цепи постоянного тока имеются два участка: на одном из них сопротивления R1 и R2 соединены последовательно, а на другом – параллельно. В каком из этих участков общее сопротивление будет больше? Каково минимальное отношение большего общего сопротивления к меньшему общему сопротивлению? При каком соотношении между R1 и R2 достигается это минимальное значение?
Алгебра 11 класс Электрические цепи сопротивление R1 и R2 цепь постоянного тока сопротивление последовательно сопротивление параллельно общее сопротивление минимальное отношение сопротивлений соотношение R1 и R2
2025-02-02 17:53:04
Для того чтобы ответить на ваш вопрос, давайте разберем, как вычисляется общее сопротивление в обоих случаях: при последовательном и параллельном соединении.
1. Последовательное соединение (R1 и R2):Когда сопротивления соединены последовательно, общее сопротивление Rс можно вычислить по формуле:
Rс = R1 + R2
2. Параллельное соединение (R1 и R2):Когда сопротивления соединены параллельно, общее сопротивление Rп можно вычислить по формуле:
1/Rп = 1/R1 + 1/R2
Отсюда можно выразить Rп:
Rп = 1 / (1/R1 + 1/R2) = (R1 * R2) / (R1 + R2)
Сравнение сопротивлений:Теперь сравним общее сопротивление в обоих случаях:
- Rс = R1 + R2 (последовательно)
- Rп = (R1 * R2) / (R1 + R2) (параллельно)
Чтобы понять, в каком из участков общее сопротивление больше, сравним Rс и Rп. Для этого рассмотрим их отношение:
Rс / Rп = (R1 + R2) / ((R1 * R2) / (R1 + R2)) = (R1 + R2)² / (R1 * R2)
Минимальное отношение:Теперь нам нужно найти минимальное значение этого отношения. Для этого введем обозначение:
x = R1 / R2
Тогда:
Rс / Rп = (R2 * (x + 1))² / (R2² * x) = (x + 1)² / x
Теперь найдем производную этой функции и найдем минимум:
f(x) = (x + 1)² / x
Для нахождения минимума найдем производную и приравняем к нулю:
f'(x) = [2(x + 1) * 1 - (x + 1)² / x²] = 0
После упрощений мы получаем, что минимальное значение достигается при x = 1, то есть R1 = R2. Подставляем это значение:
f(1) = (1 + 1)² / 1 = 4
Ответ:Таким образом, общее сопротивление в участке с последовательным соединением всегда будет больше, чем в участке с параллельным соединением. Минимальное отношение большего общего сопротивления к меньшему общему сопротивлению равно 4, и оно достигается при условии, что R1 = R2.
