В каждом из натуральных чисел a1, a2, ..., a100, которые не превышают 200, известно, что хотя бы одно из них меньше 67. Как можно доказать, что среди этих чисел есть такое, которое делится на другое?

Алгебра 11 класс Доказательства в теории чисел алгебра 11 класс натуральные числа делимость чисел доказательство делимости числа меньше 67 Новый

Чтобы доказать, что среди чисел a1, a2, ..., a100 есть такое, которое делится на другое, воспользуемся принципом Дирихле.

Шаг 1: Определение диапазона чисел

• Все числа a1, a2, ..., a100 являются натуральными и не превышают 200.
• Согласно условию, хотя бы одно из чисел меньше 67.

Шаг 2: Разделение чисел на группы

Разделим все числа по остаткам от деления на 67. Возможные остатки при делении на 67 могут быть от 0 до 66, то есть всего 67 различных остатков.

Шаг 3: Применение принципа Дирихле

У нас есть 100 чисел, а всего 67 возможных остатков при делении на 67. Если мы распределим 100 чисел по 67 остаткам, то по принципу Дирихле, как минимум два числа должны иметь одинаковый остаток.

Шаг 4: Доказательство делимости

Пусть a и b - два числа из нашей последовательности, которые имеют одинаковый остаток при делении на 67. Это означает, что:

• a ≡ b (mod 67)

Следовательно, разность a - b делится на 67. Поскольку a и b имеют одинаковый остаток, одно из них может быть больше другого, и мы можем записать:

• a = b + 67k, где k - целое число.

Таким образом, одно из чисел делится на другое, так как разность a - b равна 67k, и k является целым числом.

Шаг 5: Заключение

Таким образом, мы доказали, что среди чисел a1, a2, ..., a100 обязательно найдется такое число, которое делится на другое. Это следует из того, что по принципу Дирихле мы имеем не менее двух чисел с одинаковым остатком при делении на 67.