Чтобы найти косинус угла между прямыми AC1 и BE1 в правильной 6-й призме, начнем с определения координат точек вершин призмы. Правильная 6-я призма имеет две параллельные грани, которые являются правильными шестиугольниками, и шесть вертикальных рёбер.

Рассмотрим призму, у которой все рёбра равны 1. Мы можем расположить шестиугольник в плоскости XY, а его вершины будут иметь следующие координаты:

• A(1, 0, 0)
• B(0.5, √3/2, 0)
• C(-0.5, √3/2, 0)
• D(-1, 0, 0)
• E(-0.5, -√3/2, 0)
• F(0.5, -√3/2, 0)

Вершины верхней грани призмы будут иметь такие же координаты, но с добавлением единицы к координате Z:

• A1(1, 0, 1)
• B1(0.5, √3/2, 1)
• C1(-0.5, √3/2, 1)
• D1(-1, 0, 1)
• E1(-0.5, -√3/2, 1)
• F1(0.5, -√3/2, 1)

Теперь определим векторы, соответствующие прямым AC1 и BE1:

• Вектор AC1: C1 - A = (-0.5, √3/2, 1) - (1, 0, 0) = (-1.5, √3/2, 1)
• Вектор BE1: E1 - B = (-0.5, -√3/2, 1) - (0.5, √3/2, 0) = (-1, -√3, 1)

Теперь мы можем найти косинус угла между этими векторами. Для этого используем формулу:

cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|),

где A · B - скалярное произведение векторов, а |A| и |B| - их длины.

Сначала найдем скалярное произведение:

• A · B = (-1.5) * (-1) + (√3/2) * (-√3) + 1 * 1 = 1.5 - (3/2) + 1 = 1

Теперь найдем длины векторов:

• |A| = √((-1.5)² + (√3/2)² + 1²) = √(2.25 + 0.75 + 1) = √4 = 2
• |B| = √((-1)² + (-√3)² + 1²) = √(1 + 3 + 1) = √5

Теперь подставим все в формулу для косинуса:

cos(θ) = 1 / (2 * √5)

Таким образом, косинус угла между прямыми AC1 и BE1 равен 1 / (2√5).