В ряд выписаны квадраты всех натуральных чисел начиная с 1. Каждое число заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили также и действовали до тех пор, пока не получилась последовательность однозначных чисел. а) Какое число является 541-м в получившейся последовательности? б) Какова сумма первых 550 чисел получившейся последовательности? в) Какова может быть наибольшая сумма 542 чисел получившейся последовательности, идущих подряд?

Алгебра 11 класс Цифровые суммы и их свойства алгебра 11 класс квадраты натуральных чисел сумма цифр числа однозначные числа последовательность чисел 541-е число последовательности сумма первых 550 чисел наибольшая сумма 542 чисел математические задачи решение задач по алгебре Новый

Для решения данной задачи начнем с того, что нам нужно найти последовательность, состоящую из сумм цифр квадратов натуральных чисел. Давайте поэтапно разберем каждую часть вопроса.

а) Какое число является 541-м в получившейся последовательности?

1. Сначала выписываем квадраты первых натуральных чисел:

• 1^2 = 1
• 2^2 = 4
• 3^2 = 9
• 4^2 = 16
• 5^2 = 25
• 6^2 = 36
• 7^2 = 49
• 8^2 = 64
• 9^2 = 81
• 10^2 = 100
• и так далее...

2. Теперь заменяем каждое число на сумму его цифр:

• 1 -> 1
• 4 -> 4
• 9 -> 9
• 16 -> 1 + 6 = 7
• 25 -> 2 + 5 = 7
• 36 -> 3 + 6 = 9
• 49 -> 4 + 9 = 13 -> 1 + 3 = 4
• 64 -> 6 + 4 = 10 -> 1 + 0 = 1
• 81 -> 8 + 1 = 9
• 100 -> 1 + 0 + 0 = 1

3. Продолжаем этот процесс, пока не получим последовательность однозначных чисел. После некоторого времени мы заметим, что в последовательности начинают повторяться однозначные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

4. Поскольку мы получаем однозначные числа, они будут повторяться с периодом 9. Таким образом, 541-е число в последовательности будет равно (541 - 1) % 9 + 1 = 541 % 9 + 1 = 0 + 1 = 1.

Ответ: 1.

б) Какова сумма первых 550 чисел получившейся последовательности?

1. Как мы уже выяснили, последовательность состоит из однозначных чисел от 1 до 9, которые повторяются.

2. Сначала посчитаем, сколько полных циклов из 9 чисел в 550 числах:

• 550 / 9 = 61 полных цикла и 1 лишнее число.

3. Сумма одного полного цикла (от 1 до 9) равна:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.

4. Таким образом, сумма первых 550 чисел будет равна:

• 61 * 45 + 1 = 2745 + 1 = 2746.

Ответ: 2746.

в) Какова может быть наибольшая сумма 542 чисел получившейся последовательности, идущих подряд?

1. Как мы уже установили, в последовательности присутствуют только однозначные числа от 1 до 9.

2. Чтобы получить максимальную сумму 542 чисел, мы должны использовать максимальные значения, то есть 9.

3. Таким образом, максимальная сумма 542 чисел будет равна:

• 542 * 9 = 4878.

Ответ: 4878.

Мы разобрали все части заданной задачи и получили ответы на них. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!