Вопрос 11: Нам нужно найти lg(α + 5π/2), если tgα = 1,25.

Первым делом, давайте найдем угол α. Мы знаем, что тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу:

• tgα = sinα / cosα.

Так как tgα = 1,25, мы можем записать:

• sinα = 1,25 * cosα.

Теперь мы можем использовать основное тригонометрическое тождество:

• sin²α + cos²α = 1.

Подставим в это уравнение выражение для sinα:

• (1,25 * cosα)² + cos²α = 1.

Раскроем скобки:

• 1,5625 * cos²α + cos²α = 1.

Сложим подобные слагаемые:

• 2,5625 * cos²α = 1.

Теперь найдем cos²α:

• cos²α = 1 / 2,5625.

После вычислений получим:

• cos²α ≈ 0,390625.

Теперь найдем cosα:

• cosα ≈ ±√0,390625 ≈ ±0,625.

Теперь найдем sinα:

• sinα = 1,25 * cosα ≈ 1,25 * 0,625 = 0,78125 (если cosα положительное).
• sinα = 1,25 * (-0,625) = -0,78125 (если cosα отрицательное).

Теперь мы можем найти угол α. Мы знаем, что tgα = 1,25. Это соответствует углам в первой и третьей четвертях. Находим угол α:

• α = arctg(1,25).

Теперь вычислим α:

• α ≈ 0,6435 рад (первый квадрант).
• или α ≈ 0,6435 + π ≈ 3,7851 рад (третий квадрант).

Теперь подставим найденный угол в выражение lg(α + 5π/2):

• lg(0,6435 + 5 * π/2) или lg(3,7851 + 5 * π/2).

Вычисляем значение и находим логарифм.

Вопрос 12: Теперь найдем 24cos 2α, если sinα = -0,2.

Для начала, найдем cosα, используя основное тригонометрическое тождество:

• sin²α + cos²α = 1.

Подставим значение sinα:

• (-0,2)² + cos²α = 1.

Вычисляем:

• 0,04 + cos²α = 1.
• cos²α = 1 - 0,04 = 0,96.

Теперь найдем cosα:

• cosα = ±√0,96 ≈ ±0,98.

Теперь, чтобы найти cos 2α, используем формулу:

• cos 2α = cos²α - sin²α.

Подставим найденные значения:

• cos 2α = 0,96 - (-0,2)² = 0,96 - 0,04 = 0,92.

Теперь подставим в выражение 24cos 2α:

• 24cos 2α = 24 * 0,92 = 22,08.

Таким образом, мы нашли оба ответа:

• lg(α + 5π/2) - нужно вычислить значение.
• 24cos 2α = 22,08.