Вопрос: Число 54 представлено в виде суммы трех положительных слагаемых. Первое слагаемое в два раза больше второго. Каковы должны быть эти слагаемые, чтобы их произведение было максимальным? Пожалуйста, приведите подробное решение!

Алгебра 11 класс Оптимизация и задачи на максимальное произведение алгебра 11 класс задача сумма положительные слагаемые максимальное произведение слагаемые уравнение решение математическая оптимизация неравенства система уравнений анализ функции производная критические точки Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом. Нам нужно представить число 54 в виде суммы трех положительных слагаемых, где первое слагаемое в два раза больше второго, и найти такие слагаемые, чтобы их произведение было максимальным.

Обозначим второе слагаемое через x. Тогда первое слагаемое будет 2x (так как оно в два раза больше второго), а третье слагаемое обозначим через y.

Составим уравнение для суммы:

• 2x + x + y = 54

Упростим это уравнение:

• 3x + y = 54

Теперь выразим y через x:

• y = 54 - 3x

Далее, нам нужно максимизировать произведение трех слагаемых: 2x * x * y. Подставим выражение для y:

• Произведение = 2x * x * (54 - 3x)
• Произведение = 2x² * (54 - 3x)
• Произведение = 108x² - 6x³

Теперь найдем производную этой функции, чтобы определить точку максимума:

1. Производная = d/dx (108x² - 6x³)
2. Производная = 216x - 18x²

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

• 216x - 18x² = 0
• 18x(12 - x) = 0

Отсюда получаем два решения: x = 0 и x = 12. Поскольку x должно быть положительным, выбираем x = 12.

Теперь подставим x = 12 в уравнение для y:

• y = 54 - 3 * 12
• y = 54 - 36
• y = 18

Таким образом, наши слагаемые: 2x = 24, x = 12, y = 18.

Проверим произведение:

• Произведение = 24 * 12 * 18 = 5184

Таким образом, слагаемые, при которых произведение максимально, это 24, 12 и 18.