2025-08-31 10:22:30
Вопрос по алгебре: вычислите следующие выражения, используя формулы двойного и половинного угла:
- 0,5 sin(π/6) cos(π/6);
- 2 cos²(π/12) - 1;
- 2 sin(15°) cos(15°);
- sin²(15°) - cos²(15°);
- cos²(195°) - cos²(75°);
- cos(5π/12) sin(5π/12).
Также вычислите:
- (sin(67° 30') + cos(67° 30'))²;
- cos(50° 30') + 2 sin²(25° 15');
- 2 tg(π/8) / (1 + tg²(π/8));
- (tg²(15°) + 1) / (1 - tg²(15°)).
И в завершение, вычислите:
- 2 sin(54°) cos(72°);
- (cos²(15°) - cos²(75°)) / (sin(15°) sin(75°));
- (sin(140°) / (cos⁴(20°) - sin⁴(20°))) - tg(40°) + 5.
Алгебра 11 класс Тригонометрические формулы и их применение алгебра 11 класс формулы двойного угла формулы половинного угла вычисление тригонометрических выражений синус и косинус задачи по алгебре Тригонометрия углы в радианах углы в градусах алгебраические выражения
2025-08-31 10:22:52
Давайте последовательно вычислим каждое из заданных выражений, используя формулы двойного и половинного угла.
1. Вычислим 0,5 sin(π/6) cos(π/6):- Здесь мы можем использовать формулу половинного угла: sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).
- Пусть x = π/6. Тогда 2x = π/3.
- Таким образом, sin(π/3) = 0,5 sin(π/6) cos(π/6).
- Зная, что sin(π/3) = √3/2, получаем: 0,5 sin(π/6) cos(π/6) = √3/4.
- Здесь мы можем использовать формулу: cos(2x) = 2 cos²(x) - 1.
- Пусть x = π/12. Тогда 2x = π/6.
- Зная, что cos(π/6) = √3/2, получаем: 2 cos²(π/12) - 1 = √3/2.
- Используем формулу: sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).
- Пусть x = 15°. Тогда 2x = 30°.
- Зная, что sin(30°) = 1/2, получаем: 2 sin(15°) cos(15°) = 1/2.
- Используем формулу: sin²(x) - cos²(x) = -cos(2x).
- Пусть x = 15°. Тогда 2x = 30°.
- Зная, что cos(30°) = √3/2, получаем: sin²(15°) - cos²(15°) = -√3/2.
- Используем формулу: cos²(x) - cos²(y) = -sin(2y) sin(2x).
- Здесь x = 195°, y = 75°.
- Зная, что sin(150°) = 1/2 и sin(390°) = 1/2, получаем: cos²(195°) - cos²(75°) = -1/4.
- Используем формулу: sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).
- Пусть x = 5π/12. Тогда 2x = 5π/6.
- Зная, что sin(5π/6) = 1/2, получаем: cos(5π/12) sin(5π/12) = 1/4.
- Зная, что sin(67° 30') = cos(22° 30'), можем переписать: (cos(22° 30') + cos(67° 30'))².
- Это выражение можно упростить, используя формулу косинуса суммы.
- В итоге, получаем: (√2)² = 2.
- Зная, что sin(25° 15') = cos(64° 45'), можем переписать: cos(50° 30') + 2 cos²(64° 45').
- Суммируем и получаем значение, которое равняется 1.
- Используем формулу: sin(2x) = 2 tg(x) / (1 + tg²(x)).
- Пусть x = π/8. Тогда 2x = π/4.
- Зная, что sin(π/4) = √2/2, получаем: 2 tg(π/8) / (1 + tg²(π/8)) = √2/2.
- Используем формулу: (tg²(x) + 1) / (1 - tg²(x)) = cot(2x).
- Пусть x = 15°. Тогда 2x = 30°.
- Зная, что cot(30°) = √3, получаем: (tg²(15°) + 1) / (1 - tg²(15°)) = √3.
- Используем формулу: sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).
- Пусть x = 54°. Тогда 2x = 108°.
- Зная, что sin(108°) = sin(72°), получаем: 2 sin(54°) cos(72°) = sin(108°) = sin(72°).
- Используем формулу: (cos²(x) - cos²(y)) = -sin(2y) sin(2x).
- Здесь x = 15°, y = 75°.
- Получаем значение, равное -1.
- Используем формулу: cos⁴(x) - sin⁴(x) = (cos²(x) + sin²(x))(cos²(x) - sin²(x)) = cos²(20°) - sin²(20°).
- Зная, что sin(140°) = sin(40°), получаем значение, которое равняется 6.
Таким образом, мы вычислили все заданные выражения, используя соответствующие тригонометрические формулы.