Рассмотрим задачу о закрытом металлическом баке с квадратным дном, который должен иметь объем 343 м³. Нам необходимо определить размеры, при которых расход материала будет минимальным.

Обозначим ширину основания бака за a, а высоту за b. Поскольку основание квадратное, то площадь основания будет равна a * a = a².

Объем бака можно выразить следующим образом:

• Объем V = площадь основания * высота = a² * b.

Так как объем должен составлять 343 м³, мы можем записать уравнение:

• a² * b = 343.

Теперь выразим высоту b через ширину основания a:

• b = 343 / a².

Теперь давайте определим, какова формула для расхода материала, который нам нужно минимизировать. Расход материала включает в себя площадь всех сторон бака.

Площадь материала, необходимого для изготовления бака, составит:

• Площадь дна: a²,
• Площадь четырех стенок: 4 * (a * b) = 4ab.

Итак, общая площадь поверхности (расход материала) будет:

• f(a, b) = a² + 4ab.

Подставим выражение для b в формулу:

• f(a) = a² + 4a * (343 / a²) = a² + 1372 / a.

Теперь для нахождения экстремумов функции f(a) найдем ее производную и приравняем к нулю:

• f'(a) = 2a - 1372 / a².

Приравниваем производную к нулю:

• 2a - 1372 / a² = 0.

Перемножим обе стороны на a²:

• 2a³ = 1372.

Разделим обе стороны на 2:

• a³ = 686.

Теперь найдем значение a:

• a = 686^(1/3) = 8.66 м (примерно).

Теперь подставим значение a для нахождения b:

• b = 343 / a² = 343 / (8.66)² ≈ 4.5 м.

Таким образом, оптимальные размеры бака, при которых потребуется наименьшее количество материала, составляют:

• Ширина основания a ≈ 8.66 м,
• Высота b ≈ 4.5 м.

Таким образом, мы выяснили, что для минимизации расхода материала бак должен иметь размеры около 8.66 м в ширину и 4.5 м в высоту.