Все натуральные делители натурального числа N выписали по возрастанию. Известно, что произведение пятого и десятого чисел в этом ряду равно N. Сколько делителей у числа N?

Алгебра 11 класс Делители натуральных чисел алгебра 11 класс натуральные делители натуральное число N произведение делителей количество делителей делители числа свойства делителей задачи по алгебре математические задачи Новый

Для решения задачи начнем с определения основных понятий и свойств делителей натурального числа.

Пусть d(N) обозначает количество делителей натурального числа N. Делители числа N можно упорядочить по возрастанию, и обозначим их как d₁, d₂, d₃, ..., d_d(N).

По условию задачи, произведение пятого и десятого делителей равно самому числу N:

d₅ * d₁₀ = N

Также важно отметить, что для любого натурального числа N делители можно разбить на пары, где произведение каждого элемента пары равно N. Например, если d — это i-й делитель, то существует делитель d_{d(N) - i + 1}, который является парным к d и выполняет условие:

d * d_{d(N) - i + 1} = N

Из этого следует, что:

• Если d(N) четное, то делители можно разбить на d(N)/2 пар.
• Если d(N) нечетное, то один из делителей является квадратом числа, и у него нет пары.

Теперь рассмотрим конкретно пятую и десятую позиции:

• Если d(N) = 10, то у нас есть 10 делителей: d₁, d₂, d₃, d₄, d₅, d₆, d₇, d₈, d₉, d₁₀. В этом случае d₅ * d₁₀ = N будет верным, так как d₁₀ = d₁, и d₅ = d₆.
• Если d(N) = 11, то у нас 11 делителей, и d₅ * d₁₀ = N также будет верным, так как d₁₀ = d₂ и d₅ = d₆.

Однако, если d(N) > 10, то произведение d₅ * d₁₀ уже не будет равняться N, так как пары будут смещены.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что количество делителей N может быть равно 10 или 11. Но по условию задачи, произведение пятого и десятого делителей равно N только в случае, когда d(N) = 10.

Ответ: У числа N ровно 10 делителей.

1 2 3 4 5