Давайте разберем каждую задачу по порядку, начиная с задачи 12.

Задача 12

1. Упростите дробь: (a^2 - a - b - b^2) / (a^2 - b^2)

• Сначала упростим числитель: a^2 - a - b - b^2 можно переписать как a^2 - a - (b^2 + b).
• Числитель можно факторизовать: (a - b)(a + b - 1).
• Теперь упростим знаменатель: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).
• Теперь дробь выглядит так: ((a - b)(a + b - 1)) / ((a - b)(a + b)).
• Сократим (a - b) (при условии, что a ≠ b): (a + b - 1) / (a + b).

2. Упростите дробь: (b^3 + 1) / (6b^2 - 6b + 6)

• Числитель b^3 + 1 можно записать как (b + 1)(b^2 - b + 1).
• Знаменатель 6b^2 - 6b + 6 можно вынести 6: 6(b^2 - b + 1).
• Теперь дробь выглядит так: ((b + 1)(b^2 - b + 1)) / (6(b^2 - b + 1)).
• Сократим (b^2 - b + 1) (при условии, что b^2 - b + 1 ≠ 0): (b + 1) / 6.

3. Упростите дробь: (5a^3 + a^2b + 5ab^2 + b^3) / (5ab + b^2)

• Числитель можно записать как (5a^3 + b^3) + (a^2b + 5ab^2), что равняется (5a + b)(a^2 + ab + b^2).
• Знаменатель 5ab + b^2 можно вынести b: b(5a + b).
• Теперь дробь выглядит так: ((5a + b)(a^2 + ab + b^2)) / (b(5a + b)).
• Сократим (5a + b) (при условии, что 5a + b ≠ 0): (a^2 + ab + b^2) / b.

4. Упростите дробь: ((x + y)^3) / (2x^2y + xy^2 + x^3)

• Числитель можно оставить как есть: (x + y)^3.
• Знаменатель 2x^2y + xy^2 + x^3 можно переписать: x^2(2y + x) + xy^2 = x^2(2y + x) + y^2x.
• Теперь дробь будет: (x + y)^3 / (x^2(2y + x) + xy^2).
• Можно заметить, что x + y = x + y, и в знаменателе можно выделить общий множитель.

Задача 13

1. Найдите значение дроби: (a^3 - 2a^2b + 3ab^2 - b^3) / (2a^3 - 4a^2b + b^3), при (4a + 12b) / (a + 5b) = 3;

• Сначала найдем a и b из уравнения: (4a + 12b) = 3(a + 5b) => 4a + 12b = 3a + 15b.
• Переносим все в одну сторону: a - 3b = 0, значит a = 3b.
• Теперь подставим a = 3b в дробь и упростим.

2. Найдите значение дроби: (3a^3 + 2ab^2 + 2b^3) / (a^3 + a^2b - 2ab^2 + 4b^3), при (3a - 7b) / (2a - 4b) = 2;

• Решим уравнение: (3a - 7b) = 2(2a - 4b) => 3a - 7b = 4a - 8b.
• Переносим все в одну сторону: -a + b = 0, значит a = b.
• Теперь подставим a = b в дробь и упростим.

Теперь перейдем к задаче 14.

Задача 14

1. Напишите дробь: a / (a^2 - ab + b^2) в виде дроби со знаменателем (a^3 + b^3);

• Мы знаем, что a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).
• Таким образом, дробь можно записать как: a / (a^2 - ab + b^2) = a / ((a + b)(a^2 - ab + b^2)) * (a + b) / (a + b).
• Итак, дробь будет: (a(a + b)) / (a^3 + b^3).

2. Напишите дробь: (3a + 1) / (3 - 6a) в виде дроби со знаменателем 3(2a - 1)^2;

• Знаменатель 3 - 6a можно переписать как -3(2a - 1).
• Теперь дробь будет: (3a + 1) / (-3(2a - 1)).
• Чтобы получить нужный знаменатель, умножим числитель и знаменатель на (2a - 1): -((3a + 1)(2a - 1)) / (3(2a - 1)^2).

3. Напишите дробь: (a + 2) / (a^2 + 2a + 4) в виде дроби со знаменателем (a^3 - 8);

• Знаменатель a^3 - 8 можно записать как (a - 2)(a^2 + 2a + 4).
• Теперь дробь будет: (a + 2) / ((a - 2)(a^2 + 2a + 4)).
• Умножим числитель и знаменатель на (a - 2): ((a + 2)(a - 2)) / (a^3 - 8).

4. Напишите дробь: (2x - 1) / (4x + 8) в виде дроби со знаменателем 4(x + 2)^2;

• Знаменатель 4x + 8 можно записать как 4(x + 2).
• Теперь дробь будет: (2x - 1) / (4(x + 2)).
• Умножим числитель и знаменатель на (x + 2): ((2x - 1)(x + 2)) / (4(x + 2)^2).

Теперь перейдем к задаче 15.

Задача 15

1. Найдите значение дроби: (6x^2 + 6) / (ax^2 + b + a + bx^2), при a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = 27;

• Сначала упростим дробь, вынеся 6 в числителе: 6(x^2 + 1).
• Знаменатель можно переписать как (a + b)x^2 + (b + a).
• Теперь подставим значения a и b, которые удовлетворяют уравнению a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = 27.

2. Найдите значение дроби: (ax^3 + 4b - 2a - 2bx^3) / (2x^3 - 4), при a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3 = 64;

• Упростим дробь, вынеся 2: (a - 2b)x^3 + 4b - 2a / (2(x^3 - 2)).
• Теперь найдем значения a и b, которые удовлетворяют уравнению a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3 = 64.

Теперь перейдем к задаче 16.

Задача 16

1. Упростите дробь: (4x^2 - 11x - 3) / (x^2 - 9);

• Числитель 4x^2 - 11x - 3 можно разложить на множители: (4x + 1)(x - 3).
• Знаменатель x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3).
• Теперь дробь будет: ((4x + 1)(x - 3)) / ((x - 3)(x + 3)).
• Сократим (x - 3): (4x + 1) / (x + 3).

2. Упростите дробь: (3x^2 + 8x + 4) / (x^2 + x - 2);

• Числитель 3x^2 + 8x + 4 можно разложить на множители: (3x + 2)(x + 2).
• Знаменатель x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1).
• Теперь дробь будет: ((3x + 2)(x + 2)) / ((x + 2)(x - 1)).
• Сократим (x + 2): (3x + 2) / (x - 1).

3. Упростите дробь: (2x^2 - 9x - 5) / (x^2 - 25);

• Числитель 2x^2 - 9x - 5 можно разложить на множители: (2x + 1)(x - 5).
• Знаменатель x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5).
• Теперь дробь будет: ((2x + 1)(x - 5)) / ((x - 5)(x + 5)).
• Сократим (x - 5): (2x + 1) / (x + 5).

4. Упростите дробь: (5x^2 + 17x + 6) / (x^2 + x - 6);

• Числитель 5x^2 + 17x + 6 можно разложить на множители: (5x + 2)(x + 3).
• Знаменатель x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2).
• Теперь дробь будет: ((5x + 2)(x + 3)) / ((x + 3)(x - 2)).
• Сократим (x + 3): (5x + 2) / (x - 2).

На этом все. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, пожалуйста, дайте знать!