Докажите, что выражение 1/(2√7-1) - 1/(2√7+1) является рациональным числом.

Алгебра 5 класс Рациональные числа алгебра 5 класс рациональные числа доказательство выражения математические выражения дроби и корни Новый

Чтобы доказать, что выражение 1/(2√7-1) - 1/(2√7+1) является рациональным числом, начнем с того, что мы можем объединить эти два дробных выражения в одну дробь. Для этого найдем общий знаменатель.

Общий знаменатель для дробей 1/(2√7-1) и 1/(2√7+1) будет равен произведению их знаменателей, то есть (2√7-1)(2√7+1).

Теперь запишем выражение с общим знаменателем:

1. Перепишем первое слагаемое с новым знаменателем:

1/(2√7-1) = (2√7+1)/( (2√7-1)(2√7+1) )

2. Перепишем второе слагаемое с новым знаменателем:

1/(2√7+1) = (2√7-1)/( (2√7-1)(2√7+1) )

Теперь мы можем записать выражение:

(2√7+1)/( (2√7-1)(2√7+1) ) - (2√7-1)/( (2√7-1)(2√7+1) )

Теперь у нас общий знаменатель, и мы можем вычесть числители:

(2√7 + 1 - (2√7 - 1))/( (2√7-1)(2√7+1) )

Упростим числитель:

1. Раскроем скобки:

2√7 + 1 - 2√7 + 1 = 2

Таким образом, у нас получается:

2/((2√7-1)(2√7+1))

Теперь нужно проверить, является ли это выражение рациональным числом. Знаменатель (2√7-1)(2√7+1) можно упростить:

Это выражение – разность квадратов, и оно равно:

(2√7)^2 - 1^2 = 28 - 1 = 27

Итак, мы имеем:

2/27

Это число является рациональным, так как оно может быть представлено в виде дроби, где числитель и знаменатель – целые числа.

Таким образом, мы доказали, что выражение 1/(2√7-1) - 1/(2√7+1) является рациональным числом.