Чтобы решить выражение 4 1/2 * 8/9 * 5 1/3 * (-10 2/3), нам нужно сначала преобразовать смешанные числа в неправильные дроби. Давайте сделаем это шаг за шагом.

1. Преобразуем 4 1/2 в неправильную дробь:
   • Целая часть - 4, дробная часть - 1/2.
   • Чтобы преобразовать, умножаем целую часть на знаменатель дроби и добавляем числитель: 4 * 2 + 1 = 8 + 1 = 9.
   • Таким образом, 4 1/2 = 9/2.
2. Преобразуем 5 1/3 в неправильную дробь:
   • Целая часть - 5, дробная часть - 1/3.
   • 5 * 3 + 1 = 15 + 1 = 16.
   • Таким образом, 5 1/3 = 16/3.
3. Преобразуем -10 2/3 в неправильную дробь:
   • Целая часть - -10, дробная часть - 2/3.
   • -10 * 3 + 2 = -30 + 2 = -28.
   • Таким образом, -10 2/3 = -28/3.

Теперь у нас есть следующее выражение:

9/2 * 8/9 * 16/3 * (-28/3)

Теперь мы можем умножить дроби. Для этого перемножим числители и знаменатели:

1. Числители:
   • 9 * 8 * 16 * (-28)
2. Знаменатели:
   • 2 * 9 * 3 * 3

Теперь давайте посчитаем числители и знаменатели:

1. Числитель: 9 * 8 = 72; 72 * 16 = 1152; 1152 * (-28) = -32256.
2. Знаменатель: 2 * 9 = 18; 18 * 3 = 54; 54 * 3 = 162.

Теперь у нас есть дробь:

-32256/162

Теперь можем упростить эту дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя.

Найдем НОД 32256 и 162. Он равен 18.

Теперь делим числитель и знаменатель на 18:

1. -32256 ÷ 18 = -1792.
2. 162 ÷ 18 = 9.

Таким образом, у нас получается:

-1792/9

Это конечный ответ. Если хотите, можете преобразовать его обратно в смешанное число:

-1792 ÷ 9 = -198, остаток 0, значит, результат в смешанном виде будет -198.

Ответ: -198.