Делится ли число 40! на:

1. 410,
2. 500,
3. 780?

Помогите решить с подробностями.

Алгебра 7 класс Факториалы и делимость алгебра 7 класс Делимость число 40 факториал 410 500 780 решение подробности математика задачи делится ли проверка делимости Новый

Чтобы определить, делится ли число 40! (факториал числа 40) на заданные числа 410, 500 и 780, нам необходимо рассмотреть разложение каждого из этих чисел на простые множители и проверить, содержатся ли все необходимые множители в разложении 40!.

Шаг 1: Разложение на простые множители

• 410:
  • 410 = 41 * 10 = 41 * 2 * 5
• 500:
  • 500 = 5 * 100 = 5 * 10 * 10 = 5 * 2 * 5 * 2 * 5 = 5^3 * 2^2
• 780:
  • 780 = 78 * 10 = 78 * 2 * 5 = (39 * 2) * 2 * 5 = (3 * 13) * 2^2 * 5 = 2^2 * 3 * 5 * 13

Шаг 2: Проверка наличия простых множителей в 40!

Факториал 40 (40!) представляет собой произведение всех целых чисел от 1 до 40. Следовательно, в 40! содержится множество простых чисел и их степеней. Чтобы проверить делимость, нам нужно определить, сколько раз каждый из простых множителей присутствует в 40!.

Для этого можно использовать формулу для нахождения количества простого числа p в n!:

k = n/p + n/p^2 + n/p^3 + ... , где p^k <= n.

• Для числа 410 (41, 2, 5):
  • 41: 40/41 = 0 (41 не входит в разложение 40!)
  • 2: 40/2 + 40/4 + 40/8 + 40/16 + 40/32 = 20 + 10 + 5 + 2 + 1 = 38
  • 5: 40/5 + 40/25 = 8 + 1 = 9

  Поскольку 41 отсутствует в 40!, число 40! не делится на 410.

• Для числа 500 (5^3, 2^2):
  • 5: 9 (достаточно для 5^3)
  • 2: 38 (достаточно для 2^2)

  Поскольку количество 5 и 2 в 40! достаточное, число 40! делится на 500.

• Для числа 780 (2^2, 3, 5, 13):
  • 2: 38 (достаточно для 2^2)
  • 3: 40/3 + 40/9 + 40/27 = 13 + 4 + 1 = 18 (достаточно для 3)
  • 5: 9 (достаточно для 5)
  • 13: 40/13 = 3 (достаточно для 13)

  Поскольку количество всех необходимых простых множителей в 40! достаточное, число 40! делится на 780.

Вывод:

• 40! не делится на 410.
• 40! делится на 500.
• 40! делится на 780.