2024-11-22 14:02:12
Делится ли число 40! на:
- 410,
- 500,
- 780?
Помогите решить с подробностями.
Алгебра 7 класс Факториалы и делимость алгебра 7 класс Делимость число 40 факториал 410 500 780 решение подробности математика задачи делится ли проверка делимости
2024-11-27 04:58:51
Чтобы определить, делится ли число 40! (факториал числа 40) на заданные числа 410, 500 и 780, нам необходимо рассмотреть разложение каждого из этих чисел на простые множители и проверить, содержатся ли все необходимые множители в разложении 40!.
Шаг 1: Разложение на простые множители
- 410:
- 410 = 41 * 10 = 41 * 2 * 5
- 500:
- 500 = 5 * 100 = 5 * 10 * 10 = 5 * 2 * 5 * 2 * 5 = 5^3 * 2^2
- 780:
- 780 = 78 * 10 = 78 * 2 * 5 = (39 * 2) * 2 * 5 = (3 * 13) * 2^2 * 5 = 2^2 * 3 * 5 * 13
Шаг 2: Проверка наличия простых множителей в 40!
Факториал 40 (40!) представляет собой произведение всех целых чисел от 1 до 40. Следовательно, в 40! содержится множество простых чисел и их степеней. Чтобы проверить делимость, нам нужно определить, сколько раз каждый из простых множителей присутствует в 40!.
Для этого можно использовать формулу для нахождения количества простого числа p в n!:
k = n/p + n/p^2 + n/p^3 + ... , где p^k <= n.
- Для числа 410 (41, 2, 5):
- 41: 40/41 = 0 (41 не входит в разложение 40!)
- 2: 40/2 + 40/4 + 40/8 + 40/16 + 40/32 = 20 + 10 + 5 + 2 + 1 = 38
- 5: 40/5 + 40/25 = 8 + 1 = 9
Поскольку 41 отсутствует в 40!, число 40! не делится на 410.
- Для числа 500 (5^3, 2^2):
- 5: 9 (достаточно для 5^3)
- 2: 38 (достаточно для 2^2)
Поскольку количество 5 и 2 в 40! достаточное, число 40! делится на 500.
- Для числа 780 (2^2, 3, 5, 13):
- 2: 38 (достаточно для 2^2)
- 3: 40/3 + 40/9 + 40/27 = 13 + 4 + 1 = 18 (достаточно для 3)
- 5: 9 (достаточно для 5)
- 13: 40/13 = 3 (достаточно для 13)
Поскольку количество всех необходимых простых множителей в 40! достаточное, число 40! делится на 780.
Вывод:
- 40! не делится на 410.
- 40! делится на 500.
- 40! делится на 780.
