Давайте рассмотрим тождество и докажем его шаг за шагом. Мы будем работать с выражением sin²α - sin²β и упростим его, используя известные формулы тригонометрии.

Шаг 1: Использование формулы разности квадратов

Первое, что мы можем сделать, это заметить, что выражение sin²α - sin²β можно представить как разность квадратов:

1. sin²α - sin²β = (sinα - sinβ)(sinα + sinβ).

Шаг 2: Применение формул тригонометрии

Теперь мы можем использовать формулы для разности и суммы синусов:

1. sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ,
2. sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ.

С помощью этих формул мы можем выразить (sinα - sinβ) и (sinα + sinβ) через sin и cos.

Шаг 3: Упрощение выражения

Здесь мы можем воспользоваться формулами для синуса и косинуса. После применения этих формул мы получим следующее выражение:

1. (sinα - sinβ) = 2 sin((α - β)/2) cos((α + β)/2),
2. (sinα + sinβ) = 2 sin((α + β)/2) cos((α - β)/2).

Шаг 4: Объединение результатов

Теперь, подставив эти результаты обратно в исходное выражение, мы получаем:

1. sin²α - sin²β = (2 sin((α - β)/2) cos((α + β)/2))(2 sin((α + β)/2) cos((α - β)/2)).

Шаг 5: Применение формулы синуса двойного угла

После этого мы можем использовать формулу синуса двойного угла для дальнейшего упрощения:

1. sin(α + β) sin(α - β).

Таким образом, мы показали, что sin²α - sin²β действительно равняется sin(α + β) sin(α - β), что и требовалось доказать.

Теперь, если у вас есть конкретные значения для α и β, вы можете подставить их в это тождество и убедиться, что оно выполняется. Это отличный способ увидеть, как теоретические знания применяются на практике!