Как изменится правильная дробь, если числитель и знаменатель увеличить на одно и то же натуральное число, которое меньше знаменателя? Пожалуйста, выскажите предположение и докажите его подробно.

Алгебра 7 класс Правильные дроби правильная дробь числитель знаменатель увеличение натуральное число математическое доказательство алгебра 7 класс Новый

Давайте рассмотрим правильную дробь, которая имеет числитель меньше знаменателя. Обозначим её как a/b, где a - числитель, b - знаменатель, и a < b. Теперь мы увеличим и числитель, и знаменатель на одно и то же натуральное число n, которое меньше b. То есть, новая дробь будет выглядеть так: (a + n) / (b + n).

Предположение: Если числитель и знаменатель правильной дроби увеличиваются на одно и то же натуральное число, которое меньше знаменателя, то дробь станет больше, но останется неправильной.

Теперь давайте докажем это предположение шаг за шагом:

1. Исходная дробь: Рассмотрим дробь a/b. Поскольку a < b, дробь правильная, и её значение меньше 1.
2. Увеличение числителя и знаменателя: Мы увеличиваем и числитель, и знаменатель на n, где n < b. Теперь у нас есть дробь (a + n) / (b + n.
3. Сравнение дробей: Чтобы понять, как изменится дробь, сравним её с исходной дробью a/b. Для этого найдем разность:
• (a + n) / (b + n) - a/b = ((a + n) * b - a * (b + n)) / (b + n) * b.
4. Упрощение разности: Раскроем скобки в числителе:
• (ab + bn - ab - an) / (b + n) * b = (bn - an) / (b + n) * b.
5. Проверка знака числителя: Поскольку n < b, то bn > an. Это значит, что bn - an > 0, следовательно, числитель положителен. Значит, дробь (a + n) / (b + n) больше, чем a/b.
6. Проверка правильности дроби: Теперь давайте проверим, останется ли дробь неправильной. Для этого нужно проверить, будет ли (a + n) < (b + n):
• a < b и n < b, следовательно, a + n < b + n.
7. Вывод: Таким образом, (a + n) / (b + n) остается правильной дробью, так как числитель по-прежнему меньше знаменателя.

Заключение: Мы сделали вывод, что если мы увеличим числитель и знаменатель правильной дроби на одно и то же натуральное число, которое меньше знаменателя, то дробь станет больше, но останется правильной. Это подтверждает наше предположение.