Как можно доказать, что если взять произведение четырех последовательных чисел и добавить к нему единицу, то это выражение будет полным квадратом?

Алгебра 7 класс Полные квадраты доказательство произведение чисел последовательные числа полный квадрат алгебра 7 класс Новый

Давайте докажем, что произведение четырех последовательных чисел, увеличенное на единицу, является полным квадратом. Обозначим четыре последовательных числа как n, n+1, n+2 и n+3, где n - целое число.

Теперь запишем произведение этих чисел:

P = n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)

Теперь добавим к этому произведению единицу:

P + 1 = n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) + 1

Теперь мы можем упростить выражение P. Заметим, что произведение четырех последовательных чисел можно представить в виде:

P = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2)

Это выражение можно переписать как:

P = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) = (n^2 + 3n)^2 + 2(n^2 + 3n)

Теперь добавим 1:

P + 1 = (n^2 + 3n)^2 + 2(n^2 + 3n) + 1

Теперь заметим, что это выражение можно представить в виде полного квадрата:

P + 1 = ((n^2 + 3n) + 1)^2

Таким образом, мы доказали, что произведение четырех последовательных чисел, увеличенное на единицу, действительно является полным квадратом. Для любого целого n, выражение P + 1 всегда будет полным квадратом.