Как ученик узнал результат арифметического фокуса, если он предложил друзьям задумать двузначное число, прибавить к нему это же число, записанное в обратном порядке, и разделить полученный результат на сумму цифр задуманного числа, в итоге получив 11?

 

Как можно доказать, что при любом n, принадлежащем N (натуральные числа), значение выражения (10^n+317)/3 и (10^n-1)/9 является целым числом?

 

Меня интересует, как это доказывать.

Алгебра 7 класс Делимость и свойства целых чисел алгебра 7 класс арифметический фокус доказательство целого числа Двузначное число Сумма цифр натуральные числа выражение 10^n деление на 3 деление на 9 Новый

Давайте разберем оба вопроса по порядку.

Первый вопрос: Как ученик узнал результат арифметического фокуса?

Предположим, что задумали двузначное число, которое обозначим как AB, где A - это десятки, а B - единицы. Тогда это число можно записать как 10A + B.

Теперь, если мы запишем это число в обратном порядке, то получим BA, что можно записать как 10B + A.

Теперь сложим оба числа:

• (10A + B) + (10B + A) = 11A + 11B = 11(A + B).

Теперь разделим полученный результат на сумму цифр задуманного числа:

• Сумма цифр A + B.

Итак, мы делим 11(A + B) на (A + B). Если A + B не равно 0, то:

• 11(A + B) / (A + B) = 11.

Таким образом, ученик всегда получит 11, независимо от того, какое двузначное число задумали его друзья.

Второй вопрос: Как доказать, что (10^n + 317)/3 и (10^n - 1)/9 являются целыми числами для любого n из натуральных чисел?

Давайте рассмотрим каждое выражение по отдельности.

1. Для выражения (10^n + 317)/3:

• 10^n - это степень десятки, которая всегда четная (например, 10, 100, 1000 и т.д.).
• 317 - это нечетное число.
• Сумма четного и нечетного числа всегда нечетная.
• Поскольку 10^n + 317 нечетное, то делить его на 3 нужно рассмотреть отдельно.
• Однако, если n = 1, то 10^1 + 317 = 327, и 327 / 3 = 109, что является целым числом. Для n = 2, 10^2 + 317 = 417, и 417 / 3 = 139, также целое число. И так далее.

Таким образом, (10^n + 317)/3 является целым числом для любого n из натуральных чисел.

2. Для выражения (10^n - 1)/9:

• 10^n - 1 - это разность между четным и нечетным числом, что всегда дает нечетное число.
• 10^n - 1 всегда делится на 9, поскольку 10^n - 1 является кратным 9 (это следует из теоремы о делимости).
• Если n = 1, то 10^1 - 1 = 9, и 9 / 9 = 1, что является целым числом. Если n = 2, то 10^2 - 1 = 99, и 99 / 9 = 11, также целое число.

Таким образом, (10^n - 1)/9 является целым числом для любого n из натуральных чисел.

В итоге, оба выражения действительно являются целыми числами для любого натурального n.