Какое число останется на доске после 124 операций, если на ней изначально написаны числа от 1 до 125 и мы каждый раз стираем два числа, заменяя их остатком от деления их суммы на 11?

Алгебра 7 класс Остатки от деления алгебра 7 класс задачи на остатки деление на 11 числа от 1 до 125 операции с числами остаток от деления математические задачи решение алгебры Новый

Давайте разберёмся с данной задачей шаг за шагом.

На доске изначально написаны числа от 1 до 125. Мы будем выполнять операции, в которых стираем два числа и заменяем их на остаток от деления их суммы на 11.

Для начала, давайте определим, как работает операция. Пусть у нас есть два числа a и b. Мы их стираем и заменяем на (a + b) mod 11. Это означает, что мы берём сумму a и b, а затем находим остаток от деления этой суммы на 11.

Важно заметить, что при каждой операции количество чисел на доске уменьшается на 1. Если изначально у нас 125 чисел, то после 124 операций на доске останется только одно число.

Теперь, чтобы понять, какое число останется, нам нужно проанализировать, как сумма чисел изменяется при каждой операции.

• Сначала найдем сумму всех чисел от 1 до 125. Это можно сделать по формуле суммы арифметической прогрессии: S = n(n + 1) / 2, где n - количество членов. В нашем случае n = 125.
• Подставляем: S = 125 * (125 + 1) / 2 = 125 * 126 / 2 = 7875.
• Теперь нам нужно найти 7875 mod 11, чтобы понять, как эта сумма будет изменяться после всех операций.

Давайте найдем 7875 mod 11:

• Сначала делим 7875 на 11. 7875 / 11 = 716 с остатком 9. Это означает, что 7875 ≡ 9 (mod 11).

Теперь, когда мы выполняем операции, сумма чисел на доске будет изменяться, но остаток от деления на 11 останется таким же, поскольку операция (a + b) mod 11 сохраняет эту свойство.

Следовательно, после 124 операций, когда останется только одно число, это число также будет равно 9 mod 11.

Теперь нам нужно определить, какое число соответствует 9 mod 11. Возможные числа, которые могут быть на доске и соответствовать этому остатку, это 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 119, 130 и так далее. Однако, поскольку на доске изначально были только числа от 1 до 125, то единственным подходящим числом будет 9.

Таким образом, на доске останется число 9.