Какое двузначное число, если его разделить на сумму его цифр, даст в частном 4 и в остатке 12, а если разделить на произведение его цифр, то в частном получится 1 и в остатке 20?

Алгебра 7 класс Двузначные числа Двузначное число алгебра задача на деление остаток Сумма цифр произведение цифр Новый

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим двузначное число как xy, где x - это десятки, а y - единицы. Тогда само число можно записать как 10x + y.

Сначала разберемся с первой частью условия:

• Сумма цифр числа: x + y.
• По условию, если мы разделим число на сумму его цифр, то получим частное 4 и остаток 12. Это можно записать в виде уравнения:

10x + y = 4(x + y) + 12

Раскроем скобки:

10x + y = 4x + 4y + 12

Теперь перенесем все на одну сторону:

10x + y - 4x - 4y - 12 = 0

Упрощаем:

6x - 3y - 12 = 0

Теперь выразим y:

6x - 12 = 3y
y = 2x - 4 (1)

Теперь перейдем ко второй части условия:

• Произведение цифр числа: xy.
• По условию, если мы разделим число на произведение его цифр, то получим частное 1 и остаток 20:

10x + y = 1(xy) + 20

Раскроем скобки:

10x + y = xy + 20

Переносим все на одну сторону:

10x + y - xy - 20 = 0

Упрощаем:

xy - 10x - y + 20 = 0

Теперь выразим y через x:

y(x - 1) = 10x - 20
y = (10x - 20) / (x - 1) (2)

Теперь у нас есть две формулы для y:

• (1) y = 2x - 4
• (2) y = (10x - 20) / (x - 1)

Приравняем правые части (1) и (2):

2x - 4 = (10x - 20) / (x - 1)

Умножим обе стороны на (x - 1), чтобы избавиться от дроби:

(2x - 4)(x - 1) = 10x - 20

Раскроем скобки:

2x^2 - 2x - 4x + 4 = 10x - 20

Упрощаем:

2x^2 - 6x + 4 + 20 - 10x = 0

2x^2 - 16x + 24 = 0

Упрощаем уравнение:

x^2 - 8x + 12 = 0

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Корни уравнения:

x = (8 ± √16) / 2
x = (8 ± 4) / 2

Таким образом, у нас есть два возможных значения для x:

• x = (8 + 4) / 2 = 6
• x = (8 - 4) / 2 = 2

Теперь подставим найденные значения x в формулу (1) для нахождения y:

• Если x = 6: y = 2 * 6 - 4 = 8
• Если x = 2: y = 2 * 2 - 4 = 0 (но y не может быть 0, так как это двузначное число)

Таким образом, мы имеем x = 6 и y = 8.

Итак, двузначное число - это 68.

Проверим условия:

• Сумма цифр: 6 + 8 = 14.
  68 / 14 = 4 (частное), остаток 12 (всё верно).
• Произведение цифр: 6 * 8 = 48.
  68 / 48 = 1 (частное), остаток 20 (всё верно).

Ответ: искомое двузначное число - 68.