Какое наименьшее натуральное число, которое, если его умножить на 2, становится квадратом, а если умножить на 3, то становится кубом натурального числа?

Алгебра 7 класс Диофантовые уравнения Наименьшее натуральное число умножить на 2 квадрат умножить на 3 куб натуральное число алгебра 7 класс Новый

Для решения этой задачи давайте обозначим искомое натуральное число как x.

Согласно условию, если умножить x на 2, то получится квадрат некоторого натурального числа. Это можно записать как:

• 2x = n², где n - натуральное число.

Из этого уравнения можно выразить x:

• x = n² / 2.

Теперь, если умножить x на 3, то получится куб некоторого натурального числа:

• 3x = m³, где m - натуральное число.

Из этого уравнения также можно выразить x:

• x = m³ / 3.

Теперь у нас есть два выражения для x:

• x = n² / 2,
• x = m³ / 3.

Приравняем эти два выражения:

• n² / 2 = m³ / 3.

Умножим обе стороны на 6, чтобы избавиться от дробей:

• 3n² = 2m³.

Теперь мы можем выразить n² через m³:

• n² = (2/3)m³.

Чтобы n² было натуральным числом, m³ должно делиться на 3. Пусть m будет кратно 3, то есть m = 3k, где k - натуральное число. Подставим это значение в уравнение:

• n² = (2/3)(3k)³ = (2/3)(27k³) = 18k³.

Теперь у нас есть:

• n² = 18k³.

Таким образом, n должно быть кратно 3, чтобы n² было делимо на 18. Пусть n = 3p, где p - натуральное число:

• (3p)² = 18k³.

Решим это уравнение:

• 9p² = 18k³.
• p² = 2k³.

Теперь мы видим, что p² должно быть четным, а значит, p должно быть четным. Пусть p = 2q:

• (2q)² = 2k³.
• 4q² = 2k³.
• 2q² = k³.

Теперь мы можем найти минимальные значения для q и k. Пусть q = 1, тогда:

• k³ = 2(1)² = 2,
• k = 1.

Теперь подставим q = 1 и k = 1 обратно:

• p = 2(1) = 2,
• n = 3(2) = 6,
• m = 3(1) = 3.

Теперь мы можем найти x:

• x = n² / 2 = 6² / 2 = 36 / 2 = 18.

Проверим, удовлетворяет ли это число условиям:

• 2 * 18 = 36, что является квадратом 6,
• 3 * 18 = 54, что является кубом 3.

Таким образом, наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет условиям задачи, равно 18.