Чтобы определить, могут ли стороны треугольника быть в заданных соотношениях, нужно воспользоваться неравенством треугольника. Это неравенство гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

Теперь рассмотрим каждое из соотношений по отдельности:

• Обозначим стороны как a = 1k, b = 2k, c = 3k, где k - положительное число.
• Проверим неравенство треугольника:
• a + b > c: 1k + 2k > 3k → 3k > 3k (не выполняется)
• a + c > b: 1k + 3k > 2k → 4k > 2k (выполняется)
• b + c > a: 2k + 3k > 1k → 5k > 1k (выполняется)
• Так как одно из неравенств не выполняется, стороны 1 : 2 : 3 не могут образовать треугольник.

• Обозначим стороны как a = 2k, b = 3k, c = 6k.
• Проверим неравенство треугольника:
• a + b > c: 2k + 3k > 6k → 5k > 6k (не выполняется)
• a + c > b: 2k + 6k > 3k → 8k > 3k (выполняется)
• b + c > a: 3k + 6k > 2k → 9k > 2k (выполняется)
• Так как одно из неравенств не выполняется, стороны 2 : 3 : 6 не могут образовать треугольник.

• Обозначим стороны как a = 1k, b = 1k, c = 2k.
• Проверим неравенство треугольника:
• a + b > c: 1k + 1k > 2k → 2k > 2k (не выполняется)
• a + c > b: 1k + 2k > 1k → 3k > 1k (выполняется)
• b + c > a: 1k + 2k > 1k → 3k > 1k (выполняется)
• Так как одно из неравенств не выполняется, стороны 1 : 1 : 2 не могут образовать треугольник.

Вывод: Ни одно из указанных соотношений сторон (1 : 2 : 3, 2 : 3 : 6, 1 : 1 : 2) не может образовать треугольник, так как в каждом случае не выполняется хотя бы одно из неравенств треугольника.