В фруктовом саду, который имеет форму правильного треугольника, расположение деревьев организовано следующим образом: в первом ряду одно дерево, во втором - два дерева, в третьем - три дерева и так далее. Вопрос: возможно ли, что в этом саду всего 105 деревьев?

Алгебра 7 класс Сумма натуральных чисел алгебра 7 класс правильный треугольник количество деревьев задачи на алгебру математические задачи арифметическая прогрессия решение задач фруктовый сад Новый

Чтобы определить, возможно ли, что в фруктовом саду всего 105 деревьев, нам нужно понять, как организовано расположение деревьев. В саду, который имеет форму правильного треугольника, количество деревьев в рядах образует последовательность, где в первом ряду одно дерево, во втором - два, в третьем - три и так далее.

Количество деревьев в n рядах можно выразить с помощью формулы суммы первых n натуральных чисел:

S(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2

Теперь нам нужно найти такое n, при котором S(n) равно 105:

n(n + 1)/2 = 105

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

n(n + 1) = 210

Теперь мы можем разложить уравнение:

n^2 + n - 210 = 0

Это квадратное уравнение, и мы можем решить его с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

В нашем случае a = 1, b = 1, c = -210:

D = 1^2 - 4 1 (-210) = 1 + 840 = 841

Теперь найдем корни уравнения, используя формулу:

n = (-b ± √D) / 2a

Подставим значения:

n = (-1 ± √841) / 2

Поскольку √841 = 29, то:

n = (-1 + 29) / 2 = 28 / 2 = 14

Или:

n = (-1 - 29) / 2 = -30 / 2 = -15 (что не имеет смысла, так как количество рядов не может быть отрицательным)

Таким образом, n = 14. Теперь подставим значение n обратно в формулу для проверки:

S(14) = 14(14 + 1)/2 = 14 * 15 / 2 = 105

Мы видим, что сумма действительно равна 105.

Таким образом, ответ на вопрос: да, в этом саду возможно, что всего 105 деревьев.