1) При каких значениях y дробь (y^2-6y+9)/(y^2+3y) становится равной 0?

2) Используя определение частного, подтвердите следующее тождество:

1. (m^2+3m-4)/(m-1) = m+4
2. (a^4-7a^2+1)/(a^2+3a-1) = a^2-3a+1

Алгебра 8 класс Рациональные выражения и их свойства алгебра 8 класс дробь равная нулю определение частного тождество решение уравнений Новый

1) При каких значениях y дробь (y^2-6y+9)/(y^2+3y) становится равной 0?

Чтобы дробь была равна 0, необходимо, чтобы числитель дроби равнялся 0, а знаменатель не равнялся 0. Рассмотрим числитель:

• Числитель: y^2 - 6y + 9.

Это квадратный trinomial, который можно разложить:

• y^2 - 6y + 9 = (y - 3)(y - 3) = (y - 3)^2.

Теперь, чтобы числитель равнялся 0, мы решаем уравнение:

• (y - 3)^2 = 0.

Это уравнение имеет одно решение:

• y - 3 = 0 => y = 3.

Теперь проверим, что знаменатель не равен 0 при y = 3:

• Знаменатель: y^2 + 3y.
• Подставим y = 3: 3^2 + 3*3 = 9 + 9 = 18, что не равно 0.

Таким образом, дробь (y^2 - 6y + 9)/(y^2 + 3y) равна 0 при y = 3.

2) Используя определение частного, подтвердите следующее тождество:

(m^2 + 3m - 4)/(m - 1) = m + 4.

Для подтверждения этого тождества, мы можем использовать деление многочленов:

1. Разделим m^2 + 3m - 4 на m - 1.
2. Первый шаг: делим первый член числителя на первый член знаменателя: m^2 / m = m.
3. Умножаем m на (m - 1): m(m - 1) = m^2 - m.
4. Вычитаем это из числителя: (m^2 + 3m - 4) - (m^2 - m) = 4m - 4.
5. Теперь делим 4m - 4 на m - 1: 4m / m = 4.
6. Умножаем 4 на (m - 1): 4(m - 1) = 4m - 4.
7. Вычитаем: (4m - 4) - (4m - 4) = 0.

Итак, мы получили:

m^2 + 3m - 4 = (m - 1)(m + 4),

что подтверждает, что (m^2 + 3m - 4)/(m - 1) = m + 4.

Теперь проверим второе тождество:

(a^4 - 7a^2 + 1)/(a^2 + 3a - 1) = a^2 - 3a + 1.

Разделим a^4 - 7a^2 + 1 на a^2 + 3a - 1:

1. Первый шаг: делим a^4 на a^2: a^4 / a^2 = a^2.
2. Умножаем a^2 на (a^2 + 3a - 1): a^2(a^2 + 3a - 1) = a^4 + 3a^3 - a^2.
3. Вычитаем: (a^4 - 7a^2 + 1) - (a^4 + 3a^3 - a^2) = -3a^3 - 6a^2 + 1.
4. Теперь делим -3a^3 на a^2: -3a^3 / a^2 = -3a.
5. Умножаем -3a на (a^2 + 3a - 1): -3a(a^2 + 3a - 1) = -3a^3 - 9a^2 + 3a.
6. Вычитаем: (-3a^3 - 6a^2 + 1) - (-3a^3 - 9a^2 + 3a) = 3a^2 - 3a + 1.
7. Делим 3a^2 на a^2: 3a^2 / a^2 = 3.
8. Умножаем 3 на (a^2 + 3a - 1): 3(a^2 + 3a - 1) = 3a^2 + 9a - 3.
9. Вычитаем: (3a^2 - 3a + 1) - (3a^2 + 9a - 3) = -12a + 4.

Таким образом, мы получили:

a^4 - 7a^2 + 1 = (a^2 + 3a - 1)(a^2 - 3a + 1),

что подтверждает, что (a^4 - 7a^2 + 1)/(a^2 + 3a - 1) = a^2 - 3a + 1.