Чтобы найти длину ребра куба и косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней, нам нужно использовать некоторые формулы и свойства куба.

Диагональ куба (D) можно выразить через длину его ребра (a) по следующей формуле:

D = a * √3

В данном случае мы знаем, что диагональ куба равна 6 см. Подставим это значение в формулу:

6 = a * √3

Теперь, чтобы найти a, разделим обе стороны уравнения на √3:

a = 6 / √3

Упростим это выражение. Умножим числитель и знаменатель на √3:

a = 6√3 / 3 = 2√3 см

Для нахождения косинуса угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней, мы можем воспользоваться определением косинуса через длины сторон и диагонали.

Косинус угла (cos) между диагональю и плоскостью грани равен отношению длины ребра к длине диагонали:

cos(θ) = a / D

Теперь подставим известные значения:

cos(θ) = (2√3) / 6

Упростим это выражение:

cos(θ) = √3 / 3

• Длина ребра куба: 2√3 см.
• Косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней: √3 / 3.