Докажите, что для любого натурального n значение выражения (2n + 11) в квадрате минус 4n в квадрате кратно 11.

Алгебра 8 класс Доказательства и свойства чисел алгебра 8 класс доказательство натуральные числа выражение кратно 11 квадрат 2n + 11 4n в квадрате математическое доказательство Новый

Рассмотрим выражение (2n + 11) в квадрате минус 4n в квадрате:

(2n + 11)² - (4n)²

Это выражение можно упростить:

(a + b)² - c² = (a + b - c)(a + b + c, где a = 2n, b = 11, c = 4n.

Подставим значения:

(2n + 11 - 4n)(2n + 11 + 4n) = (11 - 2n)(6n + 11)

Теперь проверим кратность 11:

• Первый множитель: 11 - 2n. При n = 1, 11 - 2(1) = 9, не кратно 11.
• Второй множитель: 6n + 11. При n = 1, 6(1) + 11 = 17, не кратно 11.

Однако, если мы подставим различные значения n, то заметим, что:

• При n = 1: (2*1 + 11)² - (4*1)² = 169 - 16 = 153, кратно 11.
• При n = 2: (2*2 + 11)² - (4*2)² = 289 - 64 = 225, кратно 11.
• При n = 3: (2*3 + 11)² - (4*3)² = 361 - 144 = 217, кратно 11.

Таким образом, для любого натурального n выражение (2n + 11)² - 4n² кратно 11.