Из точек А(0;8) и В(6;0) движутся по осям координат к точке О(0;0) два тела. Через сколько минут, при равномерном движении с одинаковой скоростью, равной 5 единицам в минуту, тела окажутся на минимальном расстоянии друг от друга?

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия и расстояние между точками в координатной плоскости алгебра 8 класс задачи на движение минимальное расстояние точки А и В равномерное движение координаты скорость 5 единиц время движения Новый

Для решения этой задачи сначала определим, как движутся тела из точек А и В к точке О.

Точка А(0;8) движется по оси Y, а точка В(6;0) движется по оси X. Так как скорость обоих тел равна 5 единиц в минуту, мы можем определить их координаты в зависимости от времени t (в минутах).

• Координаты тела из точки А через t минут:
  • X_A = 0
  • Y_A = 8 - 5t
• Координаты тела из точки В через t минут:
  • X_B = 6 - 5t
  • Y_B = 0

Теперь найдем расстояние между двумя телами. Расстояние между точками (X_A, Y_A) и (X_B, Y_B) можно вычислить по формуле:

Расстояние D = √((X_B - X_A)² + (Y_B - Y_A)²)

Подставим координаты:

D = √(((6 - 5t) - 0)² + (0 - (8 - 5t))²)

Упростим это выражение:

D = √((6 - 5t)² + (5t - 8)²)

Теперь раскроем скобки:

D = √((6 - 5t)² + (5t - 8)²) = √((36 - 60t + 25t²) + (25t² - 80t + 64))

Соберем подобные слагаемые:

D = √(50t² - 140t + 100)

Теперь для нахождения минимального расстояния нам нужно минимизировать выражение 50t² - 140t + 100. Это квадратный трехчлен, и его минимум можно найти с помощью формулы для координаты вершины параболы:

t_min = -b/(2a), где a = 50, b = -140.

Подставим значения:

t_min = -(-140)/(2 * 50) = 140/100 = 1.4 минуты.

Таким образом, минимальное расстояние между двумя телами будет достигнуто через 1.4 минуты.

Ответ: Тела окажутся на минимальном расстоянии друг от друга через 1.4 минуты.