Для решения задачи начнем с анализа данных, которые у нас есть:

• У нас есть окружность с центром O.
• Из точки M проведены две касательные MA и MB к окружности, которые касаются окружности в точках A и B соответственно.
• Угол AOB равен 60°.
• Длина касательной MA равна 9.

Теперь воспользуемся свойствами касательных к окружности:

• Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны между собой. Это значит, что длина MB также равна 9.
• Треугольник OMA и треугольник OMB являются равнобедренными, так как OA = OB (радиусы окружности).

Теперь давайте рассмотрим треугольник AOB. Мы знаем угол AOB и можем использовать его для нахождения расстояния между точками A и B. Для этого воспользуемся свойством, что в равнобедренном треугольнике угол между равными сторонами (OA и OB) равен 60°.

Мы можем провести высоту из точки O на сторону AB, которая будет делить угол AOB пополам. Таким образом, угол OAB будет равен 30°.

Теперь мы можем применить теорему синусов или тригонометрию для нахождения длины отрезка AB:

• Сначала найдем длину радиуса окружности (OA или OB). Мы можем использовать прямоугольный треугольник OMA, где:
• MA = 9 (касательная)
• OA = r (радиус окружности)
• Угол OMA = 90° (касательная перпендикулярна радиусу в точке касания)
• По теореме Пифагора: OA^2 = OM^2 - MA^2.

Теперь, чтобы найти OM, мы можем использовать треугольник OMA:

• OM = OA / cos(30°) = OA / (sqrt(3)/2).

Теперь мы можем найти длину AB:

• AB = 2 * OA * sin(30°) = 2 * r * 0.5 = r.

Теперь подставим значение радиуса, которое мы нашли:

Таким образом, расстояние между точками касания A и B равно:

AB = 9 * sqrt(3)

Итак, окончательный ответ: расстояние между точками касания A и B составляет 9 * sqrt(3).