Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, необходимо показать, что его противоположные стороны равны по длине или что их диагонали пересекаются в середине.

В нашем случае мы будем использовать метод вычисления длин сторон. Для этого нам нужно найти длины сторон AB, BC, CD и DA. Длина отрезка между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) вычисляется по формуле:

Длина = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Теперь давайте найдем длины сторон:

1. Длина AB:
• Точки A (-1, 2) и B (2, 5).
• Длина AB = √((2 - (-1))² + (5 - 2)²) = √((2 + 1)² + (5 - 2)²) = √(3² + 3²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2.
2. Длина BC:
• Точки B (2, 5) и C (2, 1).
• Длина BC = √((2 - 2)² + (1 - 5)²) = √(0² + (-4)²) = √(0 + 16) = √16 = 4.
3. Длина CD:
• Точки C (2, 1) и D (-1, -2).
• Длина CD = √((-1 - 2)² + (-2 - 1)²) = √((-3)² + (-3)²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2.
4. Длина DA:
• Точки D (-1, -2) и A (-1, 2).
• Длина DA = √((-1 - (-1))² + (2 - (-2))²) = √(0² + (2 + 2)²) = √(0 + 16) = √16 = 4.

Теперь сравним противоположные стороны:

• AB = CD = 3√2
• BC = DA = 4

Так как длины противоположных сторон равны, мы можем сделать вывод, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом.