Как можно доказать, что для любого натурального n выражение n³ + 3n² + 6n + 8 всегда является составным числом?

Алгебра 8 класс Признаки составных чисел доказательство составного числа алгебра 8 класс натуральные числа выражение n³ + 3n² + 6n + 8 свойства составных чисел Новый

Чтобы доказать, что выражение n³ + 3n² + 6n + 8 всегда является составным числом для любого натурального n, мы можем попробовать разложить его на множители или найти его делители.

Рассмотрим выражение n³ + 3n² + 6n + 8. Мы можем попробовать представить его в виде произведения двух множителей. Для этого мы добавим и вычтем 4 в нашем выражении:

Шаг 1: Перепишем выражение:

• n³ + 3n² + 6n + 8 = n³ + 3n² + 6n + 4 + 4

Шаг 2: Теперь сгруппируем его:

• n³ + 3n² + 6n + 4 + 4 = (n³ + 3n² + 6n + 4) + 4

Теперь попробуем разложить n³ + 3n² + 6n + 4. Обратите внимание, что это выражение можно представить в виде:

Шаг 3: Разложим его:

• (n + 2)(n² + n + 2)

Теперь подставим это в наше изначальное выражение:

• n³ + 3n² + 6n + 8 = (n + 2)(n² + n + 2) + 4

Однако, чтобы убедиться, что выражение всегда составное, достаточно показать, что оно делится на какое-то простое число при любом натуральном n.

Шаг 4: Проверим делимость:

• Для n = 1: 1³ + 3(1)² + 6(1) + 8 = 1 + 3 + 6 + 8 = 18 (составное, делится на 2 и 3)
• Для n = 2: 2³ + 3(2)² + 6(2) + 8 = 8 + 12 + 12 + 8 = 40 (составное, делится на 2 и 4)
• Для n = 3: 3³ + 3(3)² + 6(3) + 8 = 27 + 27 + 18 + 8 = 80 (составное, делится на 2 и 4)

Как видно, для первых нескольких значений n выражение всегда дает составное число.

Шаг 5: Мы можем также заметить, что для любого натурального n выражение n + 2 всегда больше 1, а n² + n + 2 всегда больше 1. Поэтому произведение (n + 2)(n² + n + 2) всегда больше 1 и, следовательно, всегда составное.

Таким образом, мы можем утверждать, что для любого натурального n выражение n³ + 3n² + 6n + 8 всегда является составным числом.