Как можно доказать, что если a, b, c - это цифры, то разница (ab + ac + bc) - (ca + cb + ba) делится на 18?

Алгебра 8 класс Доказательства свойств чисел доказательство разницы алгебра 8 класс делимость на 18 цифры a b c выражение ab ac bc алгебраические выражения Новый

Чтобы доказать, что разница (ab + ac + bc) - (ca + cb + ba) делится на 18, начнем с того, что обозначим каждую из пар цифр a, b и c как двузначные числа:

• ab = 10a + b
• ac = 10a + c
• bc = 10b + c
• ca = 10c + a
• cb = 10c + b
• ba = 10b + a

Теперь подставим эти выражения в разницу:

(ab + ac + bc) - (ca + cb + ba) = (10a + b + 10a + c + 10b + c) - (10c + a + 10c + b + 10b + a)

Упростим это выражение:

(20a + 11b + 2c) - (20c + 2a + 11b) = 20a + 11b + 2c - 20c - 2a - 11b

Теперь соберем подобные члены:

(20a - 2a) + (11b - 11b) + (2c - 20c) = 18a - 18c

Таким образом, мы получили:

18(a - c)

Теперь заметим, что 18(a - c) делится на 18 для любых целых a и c. Поскольку a и c - это цифры, разность (a - c) также является целым числом.

Таким образом, мы доказали, что разница (ab + ac + bc) - (ca + cb + ba) делится на 18.