Как можно доказать, что если a, b, c - такие числа, что 2a, a+b, c являются целыми числами, то для любого целого x значения выражения ax в квадрате + box + c также будут целыми числами?

Алгебра 8 класс Целые числа и свойства целых чисел доказательство целых чисел алгебра 8 класс свойства целых чисел выражение ax^2 + bx + c целые числа при a b c условия целостности выражения Новый

Давайте разберем это утверждение шаг за шагом и докажем его. Мы знаем, что a, b и c - это числа, при этом 2a, a+b и c являются целыми числами. Нам нужно показать, что выражение ax^2 + bx + c также будет целым числом для любого целого x.

Шаг 1: Понимание условий

• Поскольку 2a - целое число, это означает, что a является рациональным числом, которое может быть представлено в виде a = m/2, где m - целое число.
• Также, так как a + b - целое число, можно записать b как b = n - a, где n - целое число.
• Наконец, c - тоже целое число.

Шаг 2: Подстановка значений

Теперь подставим a и b в выражение ax^2 + bx + c:

• ax^2 = (m/2)x^2 = mx^2/2.
• bx = (n - a)x = (n - m/2)x = nx - mx/2.

Теперь мы можем переписать выражение:

ax^2 + bx + c = (mx^2/2) + (nx - mx/2) + c.

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю

Объединим все термины:

• ax^2 + bx + c = (mx^2 + 2nx - mx + 2c) / 2.

Теперь мы видим, что выражение ax^2 + bx + c делится на 2. Чтобы показать, что оно целое, нам нужно убедиться, что числитель mx^2 + 2nx - mx + 2c является четным числом.

Шаг 4: Проверка четности

Теперь рассмотрим числитель:

• mx^2 - mx = m(x^2 - x).
• 2nx и 2c - оба четные числа.

Число m(x^2 - x) будет четным, если m - четное или x^2 - x - четное. Поскольку x^2 - x всегда четное для любого целого x (поскольку x(x - 1) - произведение двух последовательных чисел, одно из которых всегда четное), то m(x^2 - x) также будет четным.

Шаг 5: Заключение

Таким образом, числитель mx^2 + 2nx - mx + 2c является четным числом. Это означает, что выражение ax^2 + bx + c делится на 2 и, следовательно, является целым числом.

Таким образом, мы доказали, что если 2a, a+b и c являются целыми числами, то ax^2 + bx + c также будет целым числом для любого целого x.