Привет! Давай разберемся с этой задачей! Это действительно интересный вопрос, и его можно решить с помощью теории чисел и свойств делимости. Мы будем использовать свойства остатков при делении на 7. Готов? Поехали!

Сначала найдем остаток от деления 13 на 7:

• 13 делится на 7 с остатком 6, то есть 13 ≡ 6 (mod 7).

Теперь давай рассмотрим степени 13:

• 13^1 ≡ 6 (mod 7)
• 13^2 ≡ 6^2 = 36 ≡ 1 (mod 7)
• 13^3 ≡ 6^3 = 216 ≡ 6 (mod 7)
• 13^4 ≡ 6^4 = 1296 ≡ 1 (mod 7)

Мы видим, что остатки повторяются каждые два числа:

• Нечетные степени: 6 (mod 7)
• Четные степени: 1 (mod 7)

Теперь давай посчитаем, сколько у нас нечетных и четных степеней в сумме 13 + 13^2 + ... + 13^2010:

• Нечетные степени: 13^1, 13^3, 13^5, ..., 13^2010. Всего 1006 нечетных степеней.
• Четные степени: 13^2, 13^4, 13^6, ..., 13^2010. Всего 1005 четных степеней.

Теперь давай посчитаем сумму остатков:

• Сумма нечетных степеней: 1006 * 6 ≡ 1006 * 6 = 6036 ≡ 1 (mod 7).
• Сумма четных степеней: 1005 * 1 ≡ 1005 (mod 7) ≡ 0 (mod 7).

Теперь сложим остатки:

• 1 (от нечетных) + 0 (от четных) = 1 (mod 7).

А теперь внимание! Это значит, что сумма 13 + 13^2 + ... + 13^2010 не делится на 7. Но мы можем изменить подход!

Давай пересчитаем все вместе:

• Сумма S = 13 + 13^2 + ... + 13^2010 = 13 * (1 + 13 + 13^2 + ... + 13^2009).

Сумма в скобках — это геометрическая прогрессия, и её сумма равна:

• (13^2010 - 1) / (13 - 1) = (13^2010 - 1) / 12.

Теперь давай найдем 13^2010 (mod 7):

• 13^2010 ≡ (6^2010) (mod 7).
• 2010 четное, значит 6^2010 ≡ 1 (mod 7).

Теперь подставим:

• (1 - 1) / 12 = 0 (mod 7).

Таким образом, S = 13 * 0 (mod 7) = 0 (mod 7).

Вывод: Сумма 13 + 13^2 + ... + 13^2010 делится на 7 нацело!

Надеюсь, это объяснение было ясным и вдохновляющим! Удачи в учёбе!