Как можно исследовать функцию и построить её график для уравнения y = x^3 - 3x^2?

Алгебра 8 класс Исследование функций и построение графиков исследование функции построение графика уравнение y = x^3 - 3x^2 алгебра 8 класс анализ функции график кубической функции методы исследования функций Новый

Исследование функции и построение её графика — это важные шаги в изучении алгебры. Давайте разберёмся, как это сделать для функции y = x^3 - 3x^2.

Шаг 1: Определение области определения

Функция y = x^3 - 3x^2 является полиномом, а значит, её область определения — все действительные числа. То есть:

• Область определения: x ∈ R.

Шаг 2: Нахождение производной

Чтобы исследовать функцию, найдем её производную. Это поможет определить точки экстремума и интервалы возрастания и убывания.

• y' = 3x^2 - 6x.

Шаг 3: Нахождение критических точек

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Найдем, где y' = 0:

• 3x^2 - 6x = 0.
• 3x(x - 2) = 0.
• Следовательно, x = 0 и x = 2.

Шаг 4: Определение знаков производной

Теперь определим, на каких интервалах функция возрастает или убывает. Для этого рассмотрим знаки производной на интервалах:

• Интервал (-∞, 0): выберем x = -1. y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 (положительное).
• Интервал (0, 2): выберем x = 1. y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 (отрицательное).
• Интервал (2, +∞): выберем x = 3. y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 (положительное).

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞), и убывает на интервале (0, 2).

Шаг 5: Нахождение значений функции в критических точках

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• y(0) = 0^3 - 3*0^2 = 0.
• y(2) = 2^3 - 3*2^2 = 8 - 12 = -4.

Шаг 6: Нахождение пределов

Посмотрим, как ведет себя функция при стремлении x к бесконечности:

• При x → +∞, y → +∞.
• При x → -∞, y → -∞.

Шаг 7: Построение графика

Теперь, когда у нас есть все необходимые данные, мы можем построить график функции:

• Критические точки: (0, 0) и (2, -4).
• Функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞), убывает на интервале (0, 2).
• Функция имеет минимум в точке (2, -4) и проходит через начало координат.

График функции будет выглядеть как кривая, которая начинается в левом нижнем углу, поднимается до точки (0, 0), затем опускается до минимума (2, -4) и снова поднимается к правому верхнему углу.

Теперь вы знаете, как исследовать функцию и строить её график! Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь задавать их.