Как можно определить длины сторон прямоугольника, если известно, что его площадь равна 480 см2 и периметр составляет 94 см?

Как можно обосновать, что квадрат любого натурального числа превышает произведение его предшествующего и последующего чисел?

Алгебра 8 класс Системы уравнений; Свойства чисел длина сторон прямоугольника площадь 480 см2 периметр 94 см квадрат натурального числа произведение чисел алгебра 8 класс Новый

Для решения первой задачи, давайте обозначим длины сторон прямоугольника как x и y. Мы знаем, что:

• Площадь прямоугольника: P = x * y = 480 см²
• Периметр прямоугольника: P = 2(x + y) = 94 см

Теперь мы можем выразить одну переменную через другую. Начнем с периметра:

1. Из уравнения периметра: 2(x + y) = 94
2. Разделим обе стороны на 2: x + y = 47
3. Теперь выразим y через x: y = 47 - x

Теперь подставим это выражение для y в уравнение площади:

1. Подставляем: x * (47 - x) = 480
2. Раскроем скобки: 47x - x² = 480
3. Перепишем уравнение в стандартной форме: x² - 47x + 480 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

1. Находим дискриминант: D = b² - 4ac = (-47)² - 4 * 1 * 480
2. Вычисляем D: D = 2209 - 1920 = 289
3. Теперь находим корни уравнения: x = (47 ± √289) / 2
4. Поскольку √289 = 17, то: x = (47 ± 17) / 2
5. Получаем два значения: x1 = (64) / 2 = 32 и x2 = (30) / 2 = 15

Теперь, подставляем x обратно, чтобы найти y:

1. Если x = 32, то y = 47 - 32 = 15
2. Если x = 15, то y = 47 - 15 = 32

Таким образом, длины сторон прямоугольника равны 32 см и 15 см.

Теперь перейдем ко второй части вопроса: как обосновать, что квадрат любого натурального числа превышает произведение его предшествующего и последующего чисел.

Обозначим натуральное число как n. Тогда:

• Квадрат числа: n²
• Произведение предшествующего и последующего чисел: (n - 1) * (n + 1) = n² - 1

Теперь сравним эти два выражения:

1. n² > (n - 1)(n + 1) = n² - 1
2. Это неравенство можно переписать так: n² - (n² - 1) > 0
3. Упрощая, получаем: 1 > 0

Это неравенство всегда верно для любых натуральных чисел n. Таким образом, мы можем заключить, что квадрат любого натурального числа действительно превышает произведение его предшествующего и последующего чисел.