Как можно определить все целые решения уравнения 2xy = x^2 + 2y?

Алгебра 8 класс Целочисленные решения уравнений целые решения уравнение 2xy x^2 2y алгебра 8 класс математические задачи анализ уравнений методы решения Новый

Чтобы найти все целые решения уравнения 2xy = x^2 + 2y, мы можем начать с его преобразования и анализа.

1. Перепишем уравнение так, чтобы все члены находились с одной стороны:

2xy - x^2 - 2y = 0

2. Теперь попробуем сгруппировать некоторые члены:

2y(x - 1) = x^2

3. Теперь мы можем выразить y через x:

y = x^2 / (2(x - 1))

4. Чтобы y было целым, знаменатель 2(x - 1) должен делить x^2. Это значит, что x^2 должно быть кратно 2(x - 1).

5. Теперь рассмотрим возможные значения x:

• Если x = 1, то:
y = 1^2 / (2(1 - 1)) - здесь знаменатель равен нулю, значит, это значение не подходит.
• Если x = 0, то:
y = 0^2 / (2(0 - 1)) = 0 - это решение: (0, 0).
• Если x = 2, то:
y = 2^2 / (2(2 - 1)) = 4 / 2 = 2 - это решение: (2, 2).
• Если x = 3, то:
y = 3^2 / (2(3 - 1)) = 9 / 4 - это не целое решение.
• Если x = 4, то:
y = 4^2 / (2(4 - 1)) = 16 / 6 = 8/3 - это не целое решение.
• Если x = -1, то:
y = (-1)^2 / (2(-1 - 1)) = 1 / (-4) = -1/4 - это не целое решение.
• Если x = -2, то:
y = (-2)^2 / (2(-2 - 1)) = 4 / (-6) = -2/3 - это не целое решение.
• Если x = -3, то:
y = (-3)^2 / (2(-3 - 1)) = 9 / (-8) = -9/8 - это не целое решение.
• Если x = -4, то:
y = (-4)^2 / (2(-4 - 1)) = 16 / (-10) = -8/5 - это не целое решение.

6. Мы видим, что целые решения, которые мы нашли, это:

• (0, 0)
• (2, 2)

Таким образом, все целые решения уравнения 2xy = x^2 + 2y - это (0, 0) и (2, 2).