Как можно определить все натуральные значения n, при которых выполняется равенство 16^n + 2 * 4^n - 24 = 0?

Алгебра 8 класс Уравнения с натуральными числами натуральные значения n равенство 16^n уравнение 4^n алгебра 8 класс решение уравнений методы решения свойства натуральных чисел Новый

Чтобы решить уравнение 16^n + 2 * 4^n - 24 = 0, начнем с преобразования его в более удобный вид.

Первое, что мы можем сделать, это выразить 16^n через 4^n, так как 16 является квадратом 4: 16^n = (4^2)^n = 4^{2n}.

Теперь подставим это в уравнение:

1. Заменим 16^n на 4^{2n}:
2. Уравнение принимает вид: 4^{2n} + 2 * 4^n - 24 = 0.

Далее, для удобства, введем замену: x = 4^n. Тогда 4^{2n} = (4^n)^2 = x^2. Подставим это в уравнение:

Теперь у нас получается:

x^2 + 2x - 24 = 0

Это квадратное уравнение, и его можно решить с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 2, c = -24.

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

1. Сначала найдем дискриминант:
D = b² - 4ac = 2² - 4 * 1 * (-24) = 4 + 96 = 100
2. Теперь находим корни:
x = (-2 ± √100) / 2

Теперь вычислим корни:

1. Первый корень:
x1 = (-2 + 10) / 2 = 8 / 2 = 4
2. Второй корень:
x2 = (-2 - 10) / 2 = -12 / 2 = -6 (отрицательный корень, который нас не интересует, так как x = 4^n, а n – натуральное число).

Таким образом, у нас есть только один корень: x = 4.

Теперь вернемся к нашей замене x = 4^n:

4^n = 4

Это уравнение можно переписать как:

4^n = 4^1

Сравнивая степени, мы получаем:

n = 1

Таким образом, единственное натуральное значение n, при котором выполняется равенство 16^n + 2 * 4^n - 24 = 0, равно 1.