Как можно разделить число 180 на три положительных слагаемых так, чтобы два из них находились в соотношении 1:2, и при этом произведение трех слагаемых было максимальным?

Алгебра 8 класс Оптимизация выражений с использованием методов алгебры разделить число 180 три положительных слагаемых соотношение 1:2 максимальное произведение алгебра 8 класс Новый

Чтобы решить задачу, давайте сначала обозначим слагаемые. Пусть два из слагаемых будут x и 2x, где x - положительное число. Третье слагаемое обозначим как y. Тогда мы можем записать уравнение:

x + 2x + y = 180

Это уравнение можно упростить:

3x + y = 180

Отсюда мы можем выразить y через x:

y = 180 - 3x

Теперь мы хотим максимизировать произведение трех слагаемых, которое можно записать как:

P = x * 2x * y = 2x^2 * y

Подставим выражение для y:

P = 2x^2 * (180 - 3x)

Теперь у нас есть функция P(x), которую мы можем упростить:

P = 360x^2 - 6x^3

Чтобы найти максимальное значение функции P, нужно найти производную и приравнять её к нулю:

P' = 720x - 18x^2

Приравняем производную к нулю:

720x - 18x^2 = 0

Вынесем x за скобки:

x(720 - 18x) = 0

Это уравнение имеет два решения: x = 0 и 720 - 18x = 0. Решим второе уравнение:

720 = 18x

x = 720 / 18 = 40

Теперь подставим x = 40 в выражение для y:

y = 180 - 3 * 40 = 180 - 120 = 60

Таким образом, мы нашли, что:

• x = 40
• 2x = 80
• y = 60

Теперь проверим, что сумма слагаемых равна 180:

40 + 80 + 60 = 180

Итак, три положительных слагаемых: 40, 80 и 60. Теперь найдем произведение:

P = 40 * 80 * 60 = 192000

Таким образом, максимальное произведение трех слагаемых, при условии, что два из них находятся в соотношении 1:2, равно 192000, а сами слагаемые: 40, 80 и 60.