Как можно сократить дробь:

(144a^2 - 25b^2) / (25b^2 - 120ab + 144a^2)

Алгебра 8 класс Сокращение дробей и факторизация сокращение дроби алгебра 8 класс дроби алгебраические выражения математические операции Новый

Чтобы сократить дробь (144a^2 - 25b^2) / (25b^2 - 120ab + 144a^2), нам нужно сначала упростить как числитель, так и знаменатель.

Шаг 1: Упрощение числителя

Числитель равен 144a^2 - 25b^2. Это выражение можно представить в виде разности квадратов:

144a^2 - 25b^2 = (12a)^2 - (5b)^2.

Теперь применим формулу разности квадратов: x^2 - y^2 = (x - y)(x + y). В нашем случае x = 12a, y = 5b:

(12a - 5b)(12a + 5b).

Шаг 2: Упрощение знаменателя

Теперь рассмотрим знаменатель: 25b^2 - 120ab + 144a^2. Это выражение можно привести к квадрату двучлена. Мы можем попробовать представить его в виде (mb - na)^2, где m и n - некоторые коэффициенты.

В данном случае, мы видим, что:

• Коэффициент перед b^2 равен 25, значит m = 5.
• Коэффициент перед a^2 равен 144, значит n = 12.
• Теперь проверим, соответствует ли произведение -120ab: 2 * m * n = 2 * 5 * 12 = 120.

Таким образом, знаменатель можно записать как:

(5b - 12a)^2.

Шаг 3: Подстановка и сокращение

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

Дробь становится:

((12a - 5b)(12a + 5b)) / (5b - 12a)^2.

Заметим, что (12a - 5b) и (5b - 12a) имеют противоположные знаки, то есть:

(5b - 12a) = -(12a - 5b).

Таким образом, мы можем выразить знаменатель как:

(-(12a - 5b))^2 = (12a - 5b)^2.

Теперь мы можем сократить (12a - 5b) в числителе и знаменателе:

Дробь становится:

(12a + 5b) / -(12a - 5b).

Шаг 4: Итоговый ответ

Итак, сокращенная форма дроби будет:

-(12a + 5b) / (12a - 5b).

Таким образом, мы успешно сократили дробь!