Как можно сократить дробь 8с³ - 1 / 4с² + 2с + 1?

Алгебра 8 класс Сокращение дробей и факторизация многочленов сокращение дроби алгебра 8 класс дроби математические операции упрощение выражений

Для сокращения дроби 8с³ - 1 / 4с² + 2с + 1, нам нужно сначала разложить числитель и знаменатель на множители. Давайте рассмотрим каждый из них по отдельности.

Шаг 1: Разложение числителя

Числитель у нас 8с³ - 1. Это выражение можно представить как разность кубов, так как 8с³ = (2с)³ и 1 = 1³. Формула разности кубов выглядит так:

(a³ - b³) = (a - b)(a² + ab + b²).

В нашем случае:

• a = 2с
• b = 1

Теперь применим формулу:

8с³ - 1 = (2с - 1)((2с)² + (2с)(1) + (1)²) = (2с - 1)(4с² + 2с + 1).

Шаг 2: Разложение знаменателя

Теперь рассмотрим знаменатель 4с² + 2с + 1. Это квадратный трехчлен, который можно попытаться разложить. Для этого найдем его дискриминант:

D = b² - 4ac = 2² - 4 * 4 * 1 = 4 - 16 = -12.

Так как дискриминант отрицательный, этот трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на множители в области действительных чисел.

Шаг 3: Сокращение дроби

Теперь подставим разложенные выражения в дробь:

(2с - 1)(4с² + 2с + 1) / (4с² + 2с + 1).

Мы видим, что (4с² + 2с + 1) есть в числителе и знаменателе, и мы можем их сократить:

Остается:

2с - 1.

Ответ:

Дробь 8с³ - 1 / 4с² + 2с + 1 сокращается до 2с - 1.

Чтобы сократить дробь (8с³ - 1) / (4с² + 2с + 1), нам нужно сначала разложить числитель и знаменатель на множители, если это возможно. Давайте разберемся с каждым из них по отдельности.

Шаг 1: Разложение числителя

• Числитель: 8с³ - 1 - это разность кубов, которую можно разложить по формуле a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).
• В нашем случае a = 2с и b = 1, поэтому:
• 8с³ - 1 = (2с)³ - 1³ = (2с - 1)((2с)² + (2с)(1) + 1²).
• Теперь вычислим второй множитель: (2с)² + (2с)(1) + 1² = 4с² + 2с + 1.
• Таким образом, числитель можно записать как: (2с - 1)(4с² + 2с + 1).

Шаг 2: Разложение знаменателя

• Знаменатель: 4с² + 2с + 1 - это квадратный трёхчлен.
• Мы можем проверить, можно ли его разложить на множители. Для этого найдем дискриминант: D = b² - 4ac, где a = 4, b = 2, c = 1.
• D = 2² - 4 * 4 * 1 = 4 - 16 = -12. Поскольку дискриминант отрицательный, этот трёхчлен не раскладывается на множители.

Шаг 3: Сокращение дроби

• Теперь мы можем записать дробь в виде:
• (2с - 1)(4с² + 2с + 1) / (4с² + 2с + 1).
• Здесь мы видим, что (4с² + 2с + 1) присутствует и в числителе, и в знаменателе.
• Таким образом, мы можем сократить дробь, оставив:
• (2с - 1).

Ответ: Дробь (8с³ - 1) / (4с² + 2с + 1) сокращается до (2с - 1).