Как можно вычислить значение произведения (2^3-1)/(2^3+1) * (3^3-1)/(3^3+1) * … * (n^3-1)/(n^3+1) для натуральных n?

Спасибо.

Алгебра 8 класс Произведения и дроби алгебра произведение вычисление натуральные числа формулы дроби математические задачи n-ое значение свойства чисел алгебраические выражения Новый

Для вычисления значения произведения (2^3-1)/(2^3+1) * (3^3-1)/(3^3+1) * … * (n^3-1)/(n^3+1) мы можем использовать некоторые алгебраические преобразования. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно.

Первым делом, заметим, что выражение (k^3 - 1)/(k^3 + 1) можно преобразовать следующим образом:

• k^3 - 1 можно разложить по формуле разности кубов: k^3 - 1 = (k - 1)(k^2 + k + 1).
• k^3 + 1 можно разложить по формуле суммы кубов: k^3 + 1 = (k + 1)(k^2 - k + 1).

Таким образом, мы можем записать:

(k^3 - 1)/(k^3 + 1) = ((k - 1)(k^2 + k + 1)) / ((k + 1)(k^2 - k + 1)).

Теперь подставим это преобразование в наше произведение:

P(n) = (2^3 - 1)/(2^3 + 1) * (3^3 - 1)/(3^3 + 1) * … * (n^3 - 1)/(n^3 + 1).

Это можно записать как:

P(n) = ∏ (k=2 to n) ((k - 1)(k^2 + k + 1)) / ((k + 1)(k^2 - k + 1)).

Теперь давайте рассмотрим, как это произведение ведет себя при увеличении n. Мы можем заметить, что многие элементы в числителе и знаменателе будут сокращаться.

В частности, если мы разложим произведение, то получим:

• Числитель: (1 * 3^2 + 3 + 1) * (2 * 4^2 + 4 + 1) * ... * ((n - 1)(n^2 + n + 1)).
• Знаменатель: (3 * 3^2 - 3 + 1) * (4 * 4^2 - 4 + 1) * ... * ((n + 1)(n^2 - n + 1)).

В итоге, после всех сокращений, мы можем выразить произведение в более простой форме. Однако, чтобы получить конкретное значение, нужно подставить конкретные значения n и вычислить.

Например, для n=2:

P(2) = (2^3 - 1)/(2^3 + 1) = (8 - 1)/(8 + 1) = 7/9.

Для n=3:

P(3) = (2^3 - 1)/(2^3 + 1) * (3^3 - 1)/(3^3 + 1) = (7/9) * (26/28) = (7/9) * (13/14).

Таким образом, мы видим, что произведение можно вычислять поэтапно, подставляя значения n и упрощая выражение. Важно помнить о сокращениях и алгебраических преобразованиях, которые могут значительно упростить задачу.