Как найти решение уравнения 6x^3 + 11x^2 - 3x - 2 = 0?

Алгебра 8 класс Уравнения с переменной третьей степени решение уравнения алгебра 8 класс уравнение 6x^3 нахождение корней методы решения уравнений Новый

Чтобы найти решение уравнения 6x^3 + 11x^2 - 3x - 2 = 0, мы можем воспользоваться методом проб и ошибок для нахождения корней, а затем применить деление многочлена для упрощения уравнения.

Шаг 1: Поиск рациональных корней

Сначала попробуем найти рациональные корни уравнения с помощью теоремы о рациональных корнях. Согласно этой теореме, возможные рациональные корни могут быть представлены в виде p/q, где p - делители свободного члена (-2), а q - делители старшего коэффициента (6).

• Делители -2: ±1, ±2
• Делители 6: ±1, ±2, ±3, ±6

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Шаг 2: Проверка возможных корней

Проверим некоторые из этих значений, подставляя их в уравнение:

• Для x = 1: 6(1)^3 + 11(1)^2 - 3(1) - 2 = 6 + 11 - 3 - 2 = 12 (не корень)
• Для x = -1: 6(-1)^3 + 11(-1)^2 - 3(-1) - 2 = -6 + 11 + 3 - 2 = 6 (не корень)
• Для x = 2: 6(2)^3 + 11(2)^2 - 3(2) - 2 = 48 + 44 - 6 - 2 = 84 (не корень)
• Для x = -2: 6(-2)^3 + 11(-2)^2 - 3(-2) - 2 = -48 + 44 + 6 - 2 = 0 (корень)

Мы нашли, что x = -2 является корнем уравнения.

Шаг 3: Деление многочлена

Теперь мы можем разделить многочлен 6x^3 + 11x^2 - 3x - 2 на (x + 2) с помощью деления многочлена.

После деления получим: 6x^2 - 1.

Шаг 4: Нахождение оставшихся корней

Теперь нам нужно решить уравнение 6x^2 - 1 = 0. Для этого выразим x:

• 6x^2 = 1
• x^2 = 1/6
• x = ±√(1/6) = ±1/√6 = ±√6/6.

Шаг 5: Запись всех корней

Таким образом, у нас есть три корня уравнения:

• x = -2
• x = √6/6
• x = -√6/6

В итоге, все решения уравнения 6x^3 + 11x^2 - 3x - 2 = 0: x = -2, x = √6/6 и x = -√6/6.