Чтобы решить уравнение log5 (2 + 3 * 5^(-x)) = x + 1, давайте разберем его шаг за шагом.

1. Сначала преобразуем уравнение, чтобы избавиться от логарифма. Для этого воспользуемся определением логарифма. У нас есть:

   log5 (A) = B означает, что A = 5^B. В нашем случае A = 2 + 3 * 5^(-x) и B = x + 1. Таким образом, мы можем записать:

   2 + 3 * 5^(-x) = 5^(x + 1)

2. Теперь упростим правую часть уравнения:

   5^(x + 1) = 5^x * 5^1 = 5 * 5^x

   Теперь у нас есть:

   2 + 3 * 5^(-x) = 5 * 5^x

3. Умножим обе стороны уравнения на 5^x, чтобы избавиться от дроби:

   5^x * (2 + 3 * 5^(-x)) = 5 * 5^x * 5^x

   Это упростится до:

   2 * 5^x + 3 = 5 * (5^x)^2

4. Теперь запишем уравнение в стандартном виде:

   5 * (5^x)^2 - 2 * 5^x - 3 = 0

   Обозначим y = 5^x. Тогда уравнение примет вид:

   5y^2 - 2y - 3 = 0

5. Теперь решим квадратное уравнение. Для этого используем формулу:

   y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 5, b = -2, c = -3.

   Подставим значения:

   • b² - 4ac = (-2)² - 4 * 5 * (-3) = 4 + 60 = 64

   Теперь подставим в формулу:

   • y = (2 ± √64) / (2 * 5)
   • y = (2 ± 8) / 10

   Это дает два решения:

   • y1 = (10) / 10 = 1
   • y2 = (-6) / 10 = -0.6 (это решение не подходит, так как y = 5^x всегда положительно)

6. Теперь, когда мы нашли y = 1, вернемся к переменной x:

   5^x = 1

   Это означает, что:

   x = 0 (поскольку 5^0 = 1).

Таким образом, решение уравнения log5 (2 + 3 * 5^(-x)) = x + 1 — это x = 0.