Как определить количество интервалов, где функция f(x) = (3x² + 4)(x - 1)²(x + 2)(x - 3) принимает положительные значения?
Пожалуйста, объясните, как решить эту задачу.

Алгебра 8 класс Неравенства и знаки функций алгебра 8 класс положительные значения функции интервал функции определение интервалов решение задачи по алгебре Новый

Чтобы определить количество интервалов, где функция f(x) = (3x² + 4)(x - 1)²(x + 2)(x - 3) принимает положительные значения, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти нули функции

Сначала найдем нули функции, то есть значения x, при которых f(x) = 0. Для этого необходимо решить уравнение:

• (3x² + 4) = 0
• (x - 1)² = 0
• (x + 2) = 0
• (x - 3) = 0

Рассмотрим каждое из этих уравнений:

• Уравнение (3x² + 4) = 0 не имеет действительных корней, так как 3x² + 4 всегда положительно для всех x.
• Уравнение (x - 1)² = 0 имеет один корень: x = 1 (двойной корень).
• Уравнение (x + 2) = 0 имеет корень: x = -2.
• Уравнение (x - 3) = 0 имеет корень: x = 3.

Таким образом, нули функции: x = -2, x = 1 (двойной корень), x = 3.

Шаг 2: Построить числовую прямую

Теперь мы можем отметить найденные нули на числовой прямой:

• -2
• 1 (двойной корень)
• 3

Числовая прямая будет выглядеть так:

---(-2)---(1)---(3)---

Шаг 3: Определить знаки функции на интервалах

Теперь нужно определить знаки функции f(x) на интервалах, которые получаются между этими нулями:

• (-∞, -2)
• (-2, 1)
• (1, 3)
• (3, +∞)

Для этого подберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -2), возьмем x = -3: f(-3) = (3(-3)² + 4)((-3 - 1)²)((-3 + 2))((-3 - 3)). Все множители положительны, кроме (-3 + 2), который отрицателен. Значит, f(-3) < 0.
• Для интервала (-2, 1), возьмем x = 0: f(0) = (3(0)² + 4)((0 - 1)²)((0 + 2))((0 - 3)). Все множители положительны, кроме (0 - 3), который отрицателен. Значит, f(0) < 0.
• Для интервала (1, 3), возьмем x = 2: f(2) = (3(2)² + 4)((2 - 1)²)((2 + 2))((2 - 3)). Все множители положительны, кроме (2 - 3), который отрицателен. Значит, f(2) < 0.
• Для интервала (3, +∞), возьмем x = 4: f(4) = (3(4)² + 4)((4 - 1)²)((4 + 2))((4 - 3)). Все множители положительны. Значит, f(4) > 0.

Шаг 4: Подвести итоги

Теперь мы можем подвести итоги:

• Интервал (-∞, -2): f(x) < 0
• Интервал (-2, 1): f(x) < 0
• Интервал (1, 3): f(x) < 0
• Интервал (3, +∞): f(x) > 0

Таким образом, функция f(x) принимает положительные значения только на интервале (3, +∞).

Ответ:

Количество интервалов, где функция f(x) = (3x² + 4)(x - 1)²(x + 2)(x - 3) принимает положительные значения, равно 1.