Чтобы определить наибольшее значение многочлена x^2 + 4xy + 5y^2 + 4y + 2, давайте рассмотрим его как функцию двух переменных: f(x, y) = x^2 + 4xy + 5y^2 + 4y + 2. Мы будем использовать метод нахождения критических точек.

Вот шаги, которые нужно выполнить:

1. Найдем частные производные:
   • Частная производная по x: f_x = 2x + 4y
   • Частная производная по y: f_y = 4x + 10y + 4
2. Приравняем частные производные к нулю:
   • f_x = 0: 2x + 4y = 0
   • f_y = 0: 4x + 10y + 4 = 0
3. Решим систему уравнений:
   • Из первого уравнения выразим x через y: x = -2y.
   • Подставим x в второе уравнение: 4(-2y) + 10y + 4 = 0.
   • Упростим: -8y + 10y + 4 = 0, что дает 2y + 4 = 0.
   • Отсюда y = -2.
   • Теперь подставим y обратно в уравнение для x: x = -2(-2) = 4.
4. Получили критическую точку:(4, -2).
5. Теперь найдем значение многочлена в этой точке:
   • Подставим x = 4 и y = -2 в многочлен:
   • f(4, -2) = (4)^2 + 4(4)(-2) + 5(-2)^2 + 4(-2) + 2.
   • Вычисляем: 16 - 32 + 20 - 8 + 2 = -2.
6. Проверим, является ли это максимумом: для этого используем вторые производные:
   • f_xx = 2, f_yy = 10, f_xy = 4.
   • Вычислим D = f_xx * f_yy - (f_xy)^2 = 2 * 10 - 4^2 = 20 - 16 = 4.
   • Так как D > 0 и f_xx > 0, то в точке (4, -2) находится минимум.

Таким образом, наибольшее значение многочлена не имеет предела, так как функция не ограничена. Но в пределах критической точки (4, -2) значение равно -2, и это минимум.