Как определить все натуральные значения n, для которых выражение n^2 - 2n - 3 дает простое число?

Алгебра 8 класс Простые числа и их свойства алгебра 8 класс натуральные значения n выражение n^2 - 2n - 3 простое число определение простых чисел Новый

Чтобы определить все натуральные значения n, для которых выражение n^2 - 2n - 3 дает простое число, следуем следующим шагам:

1. Запишем выражение:

   n^2 - 2n - 3

2. Приведем его к более удобному виду:

   Это выражение можно разложить на множители:

   n^2 - 2n - 3 = (n - 3)(n + 1)

3. Определим условия для простоты:

   Простое число - это число, большее 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Таким образом, нам нужно, чтобы произведение (n - 3)(n + 1) было простым числом.

4. Рассмотрим случаи:

   Произведение двух множителей (n - 3) и (n + 1) может быть простым только в следующих случаях:

   • Один из множителей равен 1, а другой - простому числу.
5. Рассмотрим первый случай:

   Пусть n - 3 = 1. Это означает, что:

   • n = 4. Тогда n + 1 = 5, и (n - 3)(n + 1) = 1 * 5 = 5, что является простым числом.
6. Рассмотрим второй случай:

   Теперь пусть n + 1 = 1. Это невозможно, так как n - натуральное число, и n + 1 всегда будет больше 1.

7. Проверим другие натуральные значения n:

   Теперь проверим несколько значений n, чтобы удостовериться, что нет других решений:

   • n = 1: (1 - 3)(1 + 1) = (-2)(2) = -4 (не простое)
   • n = 2: (2 - 3)(2 + 1) = (-1)(3) = -3 (не простое)
   • n = 3: (3 - 3)(3 + 1) = (0)(4) = 0 (не простое)
   • n = 4: (4 - 3)(4 + 1) = (1)(5) = 5 (простое)
   • n = 5: (5 - 3)(5 + 1) = (2)(6) = 12 (не простое)
   • n = 6: (6 - 3)(6 + 1) = (3)(7) = 21 (не простое)
   • n = 7: (7 - 3)(7 + 1) = (4)(8) = 32 (не простое)
8. Вывод:

   Единственное натуральное значение n, для которого выражение n^2 - 2n - 3 дает простое число, это n = 4.

Таким образом, ответ: n = 4.